Логарифмам 3 (хв степени 2+6) < логорифма 3 5х

Рассмотрим неравенство: \( \log_3 (x^2 + 6) < \log_3 (5x) \).

Для того чтобы решить это неравенство, воспользуемся свойством логарифмов: если \( \log_a(b) < \log_a(c) \), то это эквивалентно тому, что \( b < c \), при условии, что \( a > 1 \). В нашем случае основание логарифма равно 3, которое больше 1.

Таким образом, мы можем переписать неравенство:

\[ x^2 + 6 < 5x \]

Теперь приведем все к одной стороне:

\[ x^2 - 5x + 6 < 0 \]

Это квадратное неравенство можно решить, найдя корни соответствующего уравнения \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). Используем формулу для поиска корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \):

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

Таким образом, получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

Теперь находим промежутки, в которых квадратное выражение \( x^2 - 5x + 6 \) меньше нуля. Для этого исследуем знаки на интервалах, определяемых найденными корнями: \( (-\infty, 2) \), \( (2, 3) \) и \( (3, +\infty) \).

• Для \( x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \( 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6 \) > 0.
• Для \( 2 < x < 3 \) (например, \( x = 2.5 \)): \( (2.5)^2 - 5 \cdot 2.5 + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0 \).
• Для \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( 4^2 - 5 \cdot 4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0 \).

Таким образом, квадратное неравенство \( x^2 - 5x + 6 < 0 \) выполняется на интервале \( (2, 3) \).

Не забудьте также проверить, что значения \( x \) находятся в области определения логарифма. Поскольку мы имеем логарифмы, то \( 5x > 0 \) (то есть \( x > 0 \)).

Таким образом, окончательный ответ: решение неравенства \( \log_3 (x^2 + 6) < \log_3 (5x) \) – это интервал \( (2, 3) \).