На всероссийском съезде сладкоежек собралось 110 человек. Каждый из них отдаёт предпочтение одной сладости: шоколаду, мороженому или мармеладу. Репортер всем присутствующим задал три вопроса. Хитрые сладкоежки во всех своих ответах соврали, а честные сказали правду. На вопрос «Ваша любимая сладость мороженое?» утвердительный ответ дали 68 человек, на вопрос «Вы больше всего любите мармелад?» утвердительный ответ дали 37 человек, а на вопрос «Вы предпочитаете шоколад?» ответили «Да» 39 человек. Сколько всего честных сладкоежек было на съезде?
Для решения этой задачи необходимо использовать принцип включений и исключений, а также немного логики, учитывая поведение сладкоежек. Давайте обозначим:
- \(x\) — количество честных сладкоежек,
- \(y\) — количество сладкоежек, которые соврали.
Таким образом, у нас есть две равные суммы:
- Общее количество сладкоежек: \[ x + y = 110 \]
Теперь рассмотрим ответы на вопросы и как они соотносятся с честными и лживыми сладкоежками:
- На вопрос «Ваша любимая сладость мороженое?» — 68 человек ответили «да»:
- Честные, которые любят мороженое, ответят «да»,
- Лживые, которые не любят мороженое, также ответят «да».
Таким образом, получаем: \[ a + (y - b - c) = 68, \] где \(a\) — честные, которые любят мороженое, \(b\) — честные, которые любят мармелад, \(c\) — честные, которые любят шоколад.
На вопрос «Вы больше всего любите мармелад?» — 37 человек ответили «да»: \[ b + (y - a - c) = 37. \]
На вопрос «Вы предпочитаете шоколад?» — 39 человек ответили «да»: \[ c + (y - a - b) = 39. \]
Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными. Перепишем их в более удобной форме:
- \( a + y - b - c = 68 \)
- \( b + y - a - c = 37 \)
- \( c + y - a - b = 39 \)
Теперь выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = 68 - a + b + c. \]
Подставим это выражение во все три уравнения и решим систему.
Для этого заметим, что если все сладкоежки соврали, то количество ответивших «да» будет равно \(x\) (количество честных) и ненависть соответственно (количество совравших \(y\)).
Регroupировав и сопоставив ответы, мы можем прийти к выводу, что:
Сложив все три уравнения: \[ (68 + 37 + 39) - 2x = 110, \] или \[ 144 - 2x = 110, \] что переводится в \[ 2x = 34 \implies x = 17. \]
Таким образом, на съезде оказалось 17 честных сладкоежек.
