Lg(х²-8)больше или равно lg(2-9х)
Чтобы решить неравенство \( \lg(x^2 - 8) \geq \lg(2 - 9x) \), начнем с того, что мы можем использовать свойства логарифмов. Необходимо помнить, что если \( \lg(a) \geq \lg(b) \), то это означает, что \( a \geq b \), при условии, что оба выражения \( a \) и \( b \) положительны.
Найдём область определения:
Для \( \lg(x^2 - 8) \) должно быть:
\( x^2 - 8 > 0 \)
\( x^2 > 8 \)
\( |x| > \sqrt{8} \)
Следовательно, \( x > 2\sqrt{2} \) или \( x < -2\sqrt{2} \).Для \( \lg(2 - 9x) \) также должно быть:
\( 2 - 9x > 0 \)
\( 2 > 9x \)
\( x < \frac{2}{9} \).Таким образом, у нас есть два условия:
- \( x > 2\sqrt{2} \) или \( x < -2\sqrt{2} \)
- \( x < \frac{2}{9} \)
Проверив эти условия, мы видим, что \( 2\sqrt{2} \approx 2.83 \), что больше, чем \( \frac{2}{9} \approx 0.22 \). Это означает, что для положительной части выражения у нас только \( x < -2\sqrt{2} \) будет удовлетворять обоим условиям, чтобы логарифм был определён и положителен.
Решим неравенство:
Теперь можем записать:
\( x^2 - 8 \geq 2 - 9x \)
Переносим все в левую сторону:
\( x^2 + 9x - 10 \geq 0 \)Разложим квадратное уравнение:
Для уравнения \( x^2 + 9x - 10 = 0 \) находим корни с помощью дискриминанта: \( D = 9^2 - 4(1)(-10) = 81 + 40 = 121 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2} = 1 \)
\( x_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2} = -10 \)Теперь у нас есть два корня: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -10 \). Мы можем проанализировать знак параболы в промежутках \( (-\infty, -10) \), \( (-10, 1) \), и \( (1, +\infty) \).
Проанализировав эти интервалы, находим, что неравенство выполняется при \( x \leq -10 \) и \( x \geq 1 \).
Сводим все вместе:
Теперь собираем все условия:- Для логарифма \( |x| > \sqrt{8} \) дает \( x < -2\sqrt{2} \) или \( x > 2\sqrt{2} \).
- Для неравенства \( x \leq -10 \) и \( x \geq 1 \).
Таким образом, окончательное решение будет:
\( x \in (-\infty, -10] \).
Вывод: решение неравенства \( \lg(x^2 - 8) \geq \lg(2 - 9x) \) — это \( x \in (-\infty, -10] \).
