Имеется 8 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы красный шарик. Коля нашёл разницу между…

Для решения данной задачи давайте обозначим количество синих шариков в i-й коробке как \( b_i \), а количество красных шариков как \( r_i \). Поскольку в каждой коробке должно быть хотя бы по одному синему и одному красному шару, то \( b_i \geq 1 \) и \( r_i \geq 1 \).

Разница между количеством шаров разных цветов в i-й коробке будет равна \( |b_i - r_i| \). По условию задачи, разницы для восьми коробок должны быть восемь разных чисел.

Если обозначить разницу между количеством шариков в каждой коробке как \( d_i = |b_i - r_i| \), то для восьми коробок у нас есть 8 различных значений \( d_1, d_2, \ldots, d_8 \). Минимально возможные значения для этих различий — это натуральные числа от 1 до 8, то есть \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \).

Теперь давайте попробуем составить пары \( (b_i, r_i) \) так, чтобы получить именно такие различия:

1. Для \( d_1 = 1 \): \( b_1 = 2 \), \( r_1 = 1 \) (разница 1)
2. Для \( d_2 = 2 \): \( b_2 = 3 \), \( r_2 = 1 \) (разница 2)
3. Для \( d_3 = 3 \): \( b_3 = 4 \), \( r_3 = 1 \) (разница 3)
4. Для \( d_4 = 4 \): \( b_4 = 5 \), \( r_4 = 1 \) (разница 4)
5. Для \( d_5 = 5 \): \( b_5 = 6 \), \( r_5 = 1 \) (разница 5)
6. Для \( d_6 = 6 \): \( b_6 = 7 \), \( r_6 = 1 \) (разница 6)
7. Для \( d_7 = 7 \): \( b_7 = 8 \), \( r_7 = 1 \) (разница 7)
8. Для \( d_8 = 8 \): \( b_8 = 9 \), \( r_8 = 1 \) (разница 8)

Теперь посчитаем общее количество шаров во всех коробках:

\[ \text{Суммарное количество} = (b_1 + r_1) + (b_2 + r_2) + (b_3 + r_3) + (b_4 + r_4) + (b_5 + r_5) + (b_6 + r_6) + (b_7 + r_7) + (b_8 + r_8) \]

Так как в каждой коробке по 1 красному шару:

\[ \text{Суммарное количество} = (2+1) + (3+1) + (4+1) + (5+1) + (6+1) + (7+1) + (8+1) + (9+1) = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 52 \]

Таким образом, минимальное общее количество шаров во всех коробках составляет 52.