Имеется 10 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между…

Для того чтобы решить задачу, давайте обозначим количество синеньких шариков в \(i\)-й коробке через \(b_i\), а количество красненьких шариков через \(r_i\). Нам нужно, чтобы разницы \(d_i = |b_i - r_i|\) были различны для всех коробок.

Так как в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик, минимальные значения, которые могут принимать \(b_i\) и \(r_i\), равны 1. Для коробки с разницей \(d_i = 1\) возможно несколько комбинаций:

• Если \(b_i = 2\) и \(r_i = 1\), то \(d_i = 1\).
• Если \(b_i = 1\) и \(r_i = 2\), то \(d_i = 1\).

Аналогично, для \(d_i = 2\) мы можем иметь:

• \(b_i = 3\) и \(r_i = 1\), то \(d_i = 2\).
• \(b_i = 1\) и \(r_i = 3\), то \(d_i = 2\).
• Или \(b_i = 2\) и \(r_i = 4\), \(d_i = 2\).

В общем случае, для любого \(k\), можно иметь \(d_i = k\) с помощью нескольких комбинаций, например \(b_i = k + 1\) и \(r_i = 1\), или \(b_i = 1\) и \(r_i = k + 1\).

Так как Коля написал 10 разных чисел, состоящих из разностей \(1, 2, ..., 10\), минимальные значения \(d_i\) должны быть равенствами \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\).

Теперь давайте найдем минимальное общее количество шариков во всех коробках. Для этого нам нужно минимизировать сумму \(b_i + r_i\).

1. Для \(d_i = 1\):

   • Пара \( (b_i, r_i) = (2, 1) \) или \( (1, 2) \) → в сумме \( b_i + r_i = 3 \).

2. Для \(d_i = 2\):

   • Пара \( (b_i, r_i) = (3, 1) \) или \( (1, 3) \) → в сумме \( b_i + r_i = 4 \).

3. Для \(d_i = 3\):

   • Пара \( (b_i, r_i) = (4, 1) \) или \( (1, 4) \) → в сумме \( b_i + r_i = 5 \).

4. Для \(d_i = 4\):

   • Пара \( (b_i, r_i) = (5, 1) \) или \( (1, 5) \) → в сумме \( b_i + r_i = 6 \).

5. Для \(d_i = 5\):

   • Пара \( (b_i, r_i) = (6, 1) \) или \( (1, 6) \) → в сумме \( b_i + r_i = 7 \).

6. Для \(d_i = 6\):

   • Пара \( (b_i, r_i) = (7, 1) \) или \( (1, 7) \) → в сумме \( b_i + r_i = 8 \).

7. Для \(d_i = 7\):

   • Пара \( (b_i, r_i) = (8, 1) \) или \( (1, 8) \) → в сумме \( b_i + r_i = 9 \).

8. Для \(d_i = 8\):

   • Пара \( (b_i, r_i) = (9, 1) \) или \( (1, 9) \) → в сумме \( b_i + r_i = 10 \).

9. Для \(d_i = 9\):

   • Пара \( (b_i, r_i) = (10, 1) \) или \( (1, 10) \) → в сумме \( b_i + r_i = 11 \).

10. Для \(d_i = 10\):

    • Пара \( (b_i, r_i) = (11, 1) \) или \( (1, 11) \) → в сумме \( b_i + r_i = 12 \).

Теперь складываем все минимальные значения:

\[ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 75. \]

Таким образом, минимальное общее количество шариков во всех коробках составляет 75.