Дед мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. каждый из детей, начиная со старшего,сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя,взял одну конфету себе,из своих конфеты положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. когда дед мороз уходил,из 100 конфет у него осталось 22. сколько детей было на празднике?
Для решения этой задачи давайте разберем действия Деда Мороза и проанализируем, как конфеты распределяются между детьми.
Обозначим количество детей за n. Пусть среди них есть старший ребенок и младшие дети. Старший ребенок раздает конфеты всем младшим и оставляет себе одну конфету.
Каждый ребенок, начиная со старшего, делает следующее:
- Раздает по 2 конфеты каждому младшему ребенку (пусть их m).
- Берет одну конфету себе.
- Кладет в мешок по 1 конфете для каждого старшего ребенка.
Когда Дед Мороз начинал, у него было 100 конфет, а когда он ушел, осталось 22. Таким образом, раздача конфет составила: \[ 100 - 22 = 78 \text{ конфет} \]
Теперь давайте выразим количество разданных конфет:
- Каждый из старших детей раздает 2 конфеты каждому из младших. Предположим, что старших детей k, тогда младших детей будет n - k.
- Конфеты, которые каждый старший ребенок отдает младшим:
\[
k \cdot 2(n - k) + k \text{ (по одной для каждого старшего)}
\]
- Но еще учитывать, что каждый сразу берет одну конфету себе, что даёт дополнительную собранную в мешок конфету для старших детей. Это делает формулу немного сложнее, но давайте упростим.
Общее количество конфет, которое проходит через руки Деда Мороза:
- Каждый из k старших отдаёт 2 конфеты (младших n-k) и себе (1): \[ 2(n - k)k + k = 2nk - 2k^2 + k = k(2n - 2k + 1) \]
- Надо приравнять к 78: \[ k(2n - 2k + 1) = 78 \]
Чтобы решить это уравнение, будем подбирать значения для k и n. Обратите внимание, что n должно быть больше k. Если k = 6 (шесть старших детей), то 'n' может быть, скажем, 14. Подставим:
- совместно имеем: \[ 6(2(14) - 2(6) + 1) = 6(28 - 12 + 1) = 6(17) = 102 \text{ (больше 78)} \]
Так что будем корректировать, пробуя другие значения, как, например, k = 3 и проверять:
- k = 3:
- n = 9: \[ 3(2(9) - 2(3) + 1) = 3(18 - 6 + 1) = 3(13) = 39 \text{ (меньше 78)} \]
И так далее, наконец dойдем к n = 12, k = 6, на-то 77.
Таким образом, на празднике было 12 детей.
