Из бумаги вырезали прямоугольник 15×12 см после чего расчертили линиями под 45⁰ и закрасили серую область как показано на рисунке. найдите площадь серой области. ответ выразите в квадратных сантиметрах
Чтобы найти площадь серой области в данном прямоугольнике 15×12 см, вырезанном и разделенном под углом 45°, давайте подробно рассмотрим шаги.
Определим общую площадь прямоугольника. Площадь \( S \) прямоугольника можно вычислить по формуле: \[ S = ширина \times высота = 15 \, см \times 12 \, см = 180 \, см^2. \]
Рассмотрим линии под углом 45°. Когда мы проводим линии под углом 45°, мы получаем равнобедренные треугольники, которые отсекают определенные области.
Определим размеры серой области. Серая область представляет собой часть, которая образуется между линиями. Если мы проведем две диагонали от верхнего левого угла к правому нижнему и от нижнего левого к верхнему правому, они пересекутся в центре прямоугольника.
Находим площадь серых треугольников. Каждый из этих треугольников будет равнобедренным с основанием, равным половине ширины прямоугольника и высотой, равной половине его высоты. То есть:
- Основание: \( 12 \, см \) (высота) / 2 = \( 6 \, см \).
- Высота: \( 15 \, см \) (ширина) / 2 = \( 7.5 \, см \).
Площадь одного треугольника: \[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times 6 \, см \times 15 \, см = 45 \, см^2. \]
Общая площадь серой области. Площадь серой области будет равна половине площади всего прямоугольника, так как диагонали отсекают две равные треугольные области: \[ S_{серая} = S_{прямоугольника} - 2 \times S_{треугольника}. \] Но в данной форме нам необходимо учитывать только одну из серых областей, так как другую мы вычитаем.
Площадь серой области равна: \[ S_{серая} = S_{треугольника} = 45 \, см^2. \]
Таким образом, площадь серой области составляет \( 45 \, см^2 \).
