Имеется 11 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шаров разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа он написал на коробках. Оказалось, что было написано 11 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках?

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим условия. У нас есть 11 коробок, в каждой из которых находятся синие и красные шарики, причем в каждой коробке есть хотя бы один шарик каждого цвета. Коля посчитал разницу между количеством шариков разных цветов в каждой коробке и записал 11 разных чисел.

Обозначим количество синих шариков в i-й коробке как \( b_i \), а количество красных шариков как \( r_i \). Разница между количеством шариков разных цветов в i-й коробке будет равна \( |b_i - r_i| \).

Так как у нас 11 коробок и они все имеют разные значения разницы, то разница должна принимать 11 различных положительных значений. Минимальная разница, которую может принять каждая коробка, - это 1 (наименьшее неотрицательное значение, которое является отличным от нуля), а максимальная разница будет равна 11, то есть:

• Для первой коробки разница будет 1,
• Для второй коробки разница будет 2,
• ...
• Для одиннадцатой коробки разница будет 11.

Поэтому разницы имеют значения от 1 до 11:

\[ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 \]

Теперь обратим внимание на количество шариков в каждой коробке. Для выполнения условия, что в каждой коробке хотя бы по одному синим и одному красному шарикам, при каждом значении разницы можно составить пары (количество синих, количество красных). Например, если разница составляет 1, то мы можем иметь:

• 1 синий и 2 красных (разница 1)
• 2 синих и 1 красный (разница 1)

В общем случае, если разница у нас \( d \), то можно иметь:

• \( b_i = k + d \) и \( r_i = k \) (синие больше) или
• \( b_i = k \) и \( r_i = k + d \) (красные больше)

В каждом случае можно взять \( k = 1 \), чтобы минимизировать общее количество шариков. Таким образом, можно получить:

1. Для разницы 1: (1, 2) или (2, 1) ⇒ 3 шарика
2. Для разницы 2: (1, 3) или (3, 1) ⇒ 4 шарика
3. Для разницы 3: (1, 4) или (4, 1) ⇒ 5 шариков
4. Для разницы 4: (1, 5) или (5, 1) ⇒ 6 шариков
5. Для разницы 5: (1, 6) или (6, 1) ⇒ 7 шариков
6. Для разницы 6: (1, 7) или (7, 1) ⇒ 8 шариков
7. Для разницы 7: (1, 8) или (8, 1) ⇒ 9 шариков
8. Для разницы 8: (1, 9) или (9, 1) ⇒ 10 шариков
9. Для разницы 9: (1, 10) или (10, 1) ⇒ 11 шариков
10. Для разницы 10: (1, 11) или (11, 1) ⇒ 12 шариков
11. Для разницы 11: (1, 12) или (12, 1) ⇒ 13 шариков

Теперь складываем все минимальные значения:

\[ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 77 \]

Таким образом, минимальное общее количество шариков, которое может лежать во всех коробках, составляет 77 шариков.