На олимпиаде были предложены 3 задачи, каждая из которых оценивалась в 0, 1, 2 или 3 балла, оказалось, что среди участников нет таких, которые набрали бы одинаковое число баллов…

Для решения задачи начнем с рассмотрения возможных оценок. Каждая задача может быть оценена в 0, 1, 2 или 3 балла, что дает 4 варианта для каждой задачи. Поскольку на олимпиаде три задачи, общее количество возможных комбинаций оценок для одного участника можно вычислить как произведение вариантов для каждой задачи:

\[ 4 \times 4 \times 4 = 64. \]

Теперь учтем условие, что нет двух участников, которые получили бы одинаковое количество баллов по хотя бы двум задачам. Это значит, что для каждого участника все три оценки должны быть уникальными.

Каждый участник может получить комбинации оценок от 0 до 3 по каждому из трех заданий, но для удовлетворения данного условия, необходимо убедиться, что для каждой заданной оценки (например, 0, 1, 2 или 3) другие участники получают разные варьированные комбинации оценок.

Проанализируем, как именно могут распределяться оценки. Каждый участник может иметь уникальные оценки (например, 0, 1, 2) и различаться по общей сумме баллов. Другими словами, мы можем получить множество уникальных комбинаций, если будем следить за тем, чтобы у каждого участника были разные оценки на каждой из задач.

У нас есть 4 возможных оценки, и нужно выбрать 3 уникальные оценки из 4 типов. Это можно сделать следующим образом:

Число уникальных комбинаций, которые мы можем составить, равно количеству выборов 3 различных оценок из 4, умноженному на все возможные перестановки этих оценок:

Количество способов выбрать 3 оценки из 4:

\[ C(4, 3) = 4. \]

Каждую из этих комбинаций можно переставить (перемешивать) по \(3!\) (факториал 3):

\[ 3! = 6. \]

Итак, у нас есть \(4\) выбора для триады оценок и для каждой триады \(6\) перестановок:

\[ 4 \times 6 = 24. \]

Таким образом, максимальное количество участников, которое может быть на олимпиаде, составляет 24 человека, если все условия соблюдаются.