По кругу расставлены шесть Горшков в каждом из Горшков сидит хотя бы одна лягушка и в любых трёх стоящих подряд горшка суммарно сидит ровно четыре лягушки сколькими способами…

Давайте обозначим количество лягушек в горшках как \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \), где \( a_i \) — количество лягушек в \( i \)-м горшке, и известно, что:

1. \( a_i \geq 1 \) для всех \( i \)
2. \( a_1 + a_2 + a_3 = 4 \)
3. \( a_2 + a_3 + a_4 = 4 \)
4. \( a_3 + a_4 + a_5 = 4 \)
5. \( a_4 + a_5 + a_6 = 4 \)
6. \( a_5 + a_6 + a_1 = 4 \)
7. \( a_6 + a_1 + a_2 = 4 \)

Из этих уравнений видно, что сумма всех лягушек в горшках можно выразить через любое из трех подряд стоящих горшков:

Сложим все уравнения:

\[ (a_1 + a_2 + a_3) + (a_2 + a_3 + a_4) + (a_3 + a_4 + a_5) + (a_4 + a_5 + a_6) + (a_5 + a_6 + a_1) + (a_6 + a_1 + a_2) = 24 \]

Мы можем переписать это как:

\[ 3(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6) = 24 \]

Таким образом, получаем:

\[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 8 \]

Теперь мы должны определить все возможные комбинации \( (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6) \) такие, что:

1. \( a_i \geq 1 \)
2. \( a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 8 \)

Для этого мы можем использовать замену переменных: \( b_i = a_i - 1 \), тогда \( b_i \geq 0 \) и

\[ b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 = 8 - 6 = 2 \]

Общее число неотрицательных решений уравнения \( b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 = 2 \) даётся формулой «звёздочки и палочки»:

\[ C(2 + 6 - 1, 6 - 1) = C(7, 5) = 21 \]

Теперь мы хотим найти, сколько способов существует выбрать два горшка так, чтобы в них суммарно оказалось ровно три лягушки.

Пусть \( a_i + a_j = 3 \) для выбранных горшков \( i \) и \( j \). Мы можем рассмотреть все возможные распределения лягушек, подходящие под наше условие \( a_1 + a_2 + a_3 = 4 \) и т.д., и выявить возможные комбинации.

Рассмотрим, как это можно сделать:

Способы, когда \( a_i + a_j = 3 \) могут быть следующими:

• Если \( a_i = 1 \), \( a_j = 2 \) (пары: (1, 2))
• Если \( a_i = 2 \), \( a_j = 1 \) (пары: (2, 1))
• Если \( a_i = 3 \), \( a_j = 0 \) (невозможно)

Таким образом, оставшиеся варианты будут:

Мы пройдём по всем возможным парам горшков, чтобы найти такие, где сумма равна 3:

1. \( (1, 2) \) - \( 6 \) возможных комбинаций (например, \( (1, 2) \) для \( a_1 \) и \( a_3 \) и так далее, прокручивая все пары).

Итак, просто пройдя по всем уникальным парам с суммой 3 среди распределений \( (1, 1, 1, 1, 2, 2) \), мы получим следующее:

С каждой комбинацией, которая удовлетворяет условию (а это 21 различных конфигурации как мы высчитали), надо затем показать, что количество пар равно 6 (три двухсуммовые комбинации между 6 гирьками).

Таким образом итоговый ответ на вопрос: 21.