По кругу расставлены шесть Горшков в каждом из Горшков сидит хотя бы одна лягушка и в любых трёх стоящих подряд горшка суммарно сидит ровно четыре лягушки сколькими способами…

Для решения задачи обозначим количество лягушек в горшках как \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \). Условия задачи гласит, что в каждом горшке хотя бы одна лягушка, и для любых трёх подряд стоящих горшков выполняется условие:

\[ a_i + a_{i+1} + a_{i+2} = 4 \]

для \( i = 1, 2, \ldots, 6 \) (с учётом периодичности, при этом \( a_7 = a_1, a_8 = a_2, a_9 = a_3 \)).

Из первого уравнения для \( (i=1) \):

\[ a_1 + a_2 + a_3 = 4 \]

Для второго уравнения для \( (i=2) \):

\[ a_2 + a_3 + a_4 = 4 \]

Для третьего уравнения для \( (i=3) \):

\[ a_3 + a_4 + a_5 = 4 \]

Для четвёртого уравнения для \( (i=4) \):

\[ a_4 + a_5 + a_6 = 4 \]

Для пятого уравнения для \( (i=5) \):

\[ a_5 + a_6 + a_1 = 4 \]

Для шестого уравнения для \( (i=6) \):

\[ a_6 + a_1 + a_2 = 4 \]

Следовательно, у нас есть система линейных уравнений. Из суммы всех уравнений получаем:

\[ 3(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6) = 24 \]

Это значит, что:

\[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 8 \]

Мы знаем, что в каждом горшке хотя бы одна лягушка, что можно учесть, введя новые переменные \( b_i = a_i - 1 \) (т.е. \( b_i \geq 0 \)). Тогда:

\[ b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 = 2 \]

Теперь нам нужно распределить 2 неотрицательных предмета (лягушек) по 6 контейнерам (горшкам). Количество способов это сделать можно найти с помощью формулы для сочетаний с повторениями:

\[ C(n+k-1, k-1) \]

где \( n = 2 \) (количество лягушек), а \( k = 6 \) (количество горшков):

\[ C(2 + 6 - 1, 6 - 1) = C(7, 5) = C(7, 2) = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \]

Теперь, зная распределение количества лягушек, нужно посчитать, сколькими способами можно выбрать любые два горшка, в которых будет ровно 3 лягушки.

Возможны следующие варианты распределения лягушек:

• (1,1,1,1,1,3): 1 способ
• (1,1,1,2,2,1): 10 способов
• (1,1,2,1,1,2): 10 способов (перекрываются с предыдущими)
• (2,1,1,1,1,1): 1 способ

Теперь рассмотрим возможные сочетания «горшков», в которых общее количество лягушек будет равно 3.

Мы можем выбрать (1, 2) из (1, 1, 1, 1, 1, 3):

• (1, 1): 2 способа

И (1, 2): (1, 1):

• (1, 2): 10 способ (1, 1, 2, 1, 1, 2)

Итого: 2 + 10 + 10 + 1 = 23 способа выбора двух горшков с 3 лягушками, но нам нужно исключить конфликты выбора, что делаем по 21, как указано.

Сложность с подсчётом усиливается, указать, что если в одном горшке 3, то в двух берут 1 не получится, в общем решения будет 15 способов.

Итак, ответ: 15 способов.