Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (x; y), удовлетворяющих соотношению ||x| - |y|| = 1, а Ваня нарисовал синим фломастером параболу y=x²-1. сколько точек было покрашенно в синий и красный цвет?

Question 1

Задача Задача №1895016

А

Аноним

17 октября 2024 07:08 · публичный вопрос

А

Аноним 17 октября 2024 07:08

Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (x; y), удовлетворяющих соотношению ||x| - |y|| = 1, а Ваня нарисовал синим фломастером параболу y=x²-1. сколько точек было покрашенно в синий и красный цвет?

Answer

Разберем сначала, что именно изображает неравенство ||x| - |y|| = 1. Это условие описывает две линии на координатной плоскости:

|x| - |y| = 1
|y| - |x| = 1

Рассмотрим каждое из случаев отдельно:

Случай 1: x ≥ 0 и y ≥ 0 \[ x - y = 1 \implies y = x - 1 \]
Случай 2: x ≥ 0 и y < 0 \[ x + y = 1 \implies y = 1 - x \]
Случай 3: x < 0 и y ≥ 0 \[ -x - y = 1 \implies y = -x - 1 \]
Случай 4: x < 0 и y < 0 \[ -x + y = 1 \implies y = x + 1 \]

Таким образом, мы получили четыре линейные функции, которые пересекаются с осями координат и образуют фигуру в виде ромба (или параллелограмма) с вершинами в точках (1, 0), (0, -1), (-1, 0) и (0, 1).

Теперь перейдем к параболе, заданной Ваней:
\[ y = x^2 - 1. \]

Чтобы найти точки пересечения этих двух фигур, нужно решить систему уравнений между линиями и параболой. Будем подставлять выражения из решений для y в уравнение параболы.

Рассмотрим пересечения с каждой из линий:

Для линии \(y = x - 1\): \[ x - 1 = x^2 - 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0 \implies x = 0, x = 1. \]

При \(x = 0\), \(y = -1\).
При \(x = 1\), \(y = 0\).
Получаем точки (0, -1) и (1, 0).
Для линии \(y = 1 - x\): \[ 1 - x = x^2 - 1 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x - 1)(x + 2) = 0 \implies x = 1, x = -2. \]

При \(x = 1\), \(y = 0\).
При \(x = -2\), \(y = -3\).
Получаем точки (1, 0) и (-2, -3).
Для линии \(y = -x - 1\): \[ -x - 1 = x^2 - 1 \implies x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0 \implies x = 0, x = -1. \]

При \(x = 0\), \(y = -1\).
При \(x = -1\), \(y = -2\).
Получаем точки (0, -1) и (-1, -2).
Для линии \(y = x + 1\): \[ x + 1 = x^2 - 1 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2, x = -1. \]

При \(x = 2\), \(y = 3\).
При \(x = -1\), \(y = 0\).
Получаем точки (2, 3) и (-1, 0).

Теперь мы собрали все точки пересечения:

(0, -1)
(1, 0)
(2, 3)
(-2, -3)
(-1, -2)

Таким образом, всего у нас 6 точек, которые были покрашены как в красный, так и в синий цвета.

Ответ: 6 точек.

Question 2

Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (x; y), удовлетворяющих соотношению ||x| - |y|| = 1, а Ваня нарисовал синим фломастером параболу y=x²-1. сколько точек было покрашенно в синий и красный цвет?

Answer

Разберем сначала, что именно изображает неравенство ||x| - |y|| = 1. Это условие описывает две линии на координатной плоскости: 1. |x| - |y| = 1 2. |y| - |x| = 1 Рассмотрим каждое из случаев отдельно: 1. **Случай 1**: x ≥ 0 и y ≥ 0 \[ x - y = 1 \implies y = x - 1 \] 2. **Случай 2**: x ≥ 0 и y < 0 \[ x + y = 1 \implies y = 1 - x \] 3. **Случай 3**: x < 0 и y ≥ 0 \[ -x - y = 1 \implies y = -x - 1 \] 4. **Случай 4**: x < 0 и y < 0 \[ -x + y = 1 \implies y = x + 1 \] Таким образом, мы получили четыре линейные функции, которые пересекаются с осями координат и образуют фигуру в виде ромба (или параллелограмма) с вершинами в точках (1, 0), (0, -1), (-1, 0) и (0, 1). Теперь перейдем к параболе, заданной Ваней: \[ y = x^2 - 1. \] Чтобы найти точки пересечения этих двух фигур, нужно решить систему уравнений между линиями и параболой. Будем подставлять выражения из решений для y в уравнение параболы. Рассмотрим пересечения с каждой из линий: 1. Для линии \(y = x - 1\): \[ x - 1 = x^2 - 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0 \implies x = 0, x = 1. \] При \(x = 0\), \(y = -1\). При \(x = 1\), \(y = 0\). Получаем точки (0, -1) и (1, 0). 2. Для линии \(y = 1 - x\): \[ 1 - x = x^2 - 1 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x - 1)(x + 2) = 0 \implies x = 1, x = -2. \] При \(x = 1\), \(y = 0\). При \(x = -2\), \(y = -3\). Получаем точки (1, 0) и (-2, -3). 3. Для линии \(y = -x - 1\): \[ -x - 1 = x^2 - 1 \implies x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0 \implies x = 0, x = -1. \] При \(x = 0\), \(y = -1\). При \(x = -1\), \(y = -2\). Получаем точки (0, -1) и (-1, -2). 4. Для линии \(y = x + 1\): \[ x + 1 = x^2 - 1 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2, x = -1. \] При \(x = 2\), \(y = 3\). При \(x = -1\), \(y = 0\). Получаем точки (2, 3) и (-1, 0). Теперь мы собрали все точки пересечения: - (0, -1) - (1, 0) - (2, 3) - (-2, -3) - (-1, -2) Таким образом, всего у нас 6 точек, которые были покрашены как в красный, так и в синий цвета. Ответ: 6 точек.