Имеется 8 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шаров разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа он написал на коробках. Оказалось, что было написано 8 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках?

Чтобы решить задачу, давайте разберемся с условиями. У нас есть 8 коробок, в каждой из которых есть хотя бы один синий и один красный шарик. Мы знаем, что разница между количеством шаров разных цветов в каждой коробке записана Коля, и эти числа все разные.

Обозначим количество синих шариков в i-й коробке как \( b_i \), а количество красных как \( r_i \). Разница между количеством шаров в коробке будет равна \( |b_i - r_i| \).

Пусть для простоты \( d_i = |b_i - r_i| \). Поскольку Коля записал 8 различных чисел, у нас должно быть 8 различных значений \( d_i \).

Чтобы минимизировать общее количество шариков, следует учитывать, что каждая коробка должна иметь хотя бы один шарик каждого цвета и что разницу \( d_i \) можно получить различными способами. Например, если в какой-то коробке разница равна 1, это может означать, что в ней 2 синих и 1 красный шарик (или наоборот).

Посмотрим, как можно добиться нужных различий:

1. Чтобы получить разницу 1 (наименьшую возможную), положим в коробку 2 синих и 1 красный или 2 красных и 1 синий. В этом случае в коробке будет 3 шарика.
2. Чтобы получить разницу 2, можно положить 3 синих и 1 красный или 3 красных и 1 синий. Это также дает 4 шарика в коробке.
3. Если разница 3, можно положить, скажем, 4 синих и 1 красный или 4 красных и 1 синий - в итоге 5 шариков.
4. И так далее.

Построим это дальше:

• Для разницы 1: 2 синих и 1 красный → 3 шарика.
• Для разницы 2: 3 синих и 1 красный → 4 шарика.
• Для разницы 3: 4 синих и 1 красный → 5 шариков.
• Для разницы 4: 5 синих и 1 красный → 6 шариков.
• Для разницы 5: 6 синих и 1 красный → 7 шариков.
• Для разницы 6: 7 синих и 1 красный → 8 шариков.
• Для разницы 7: 8 синих и 1 красный → 9 шариков.
• Для разницы 8: 9 синих и 1 красный → 10 шариков.

Теперь суммируем минимальное количество шариков в каждой коробке:

\( 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 52 \)

Таким образом, минимальное количество шариков, которое может лежать суммарно во всех коробках, составляет 52.