в треугольнике ABC известно что ab=5√2 ac=√106 угол b=135° найдите bc
В треугольнике ABC нам известны следующие данные: \( AB = 5\sqrt{2} \), \( AC = \sqrt{106} \) и угол \( \angle B = 135° \). Нам нужно найти длину стороны \( BC \).
Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов, которая говорит, что:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C), \]
где \( C \) - это угол между сторонами \( a \) и \( b \), а \( c \) - это сторона, противолежащая углу \( C \).
В нашем случае:
- \( a = AC = \sqrt{106} \)
- \( b = AB = 5\sqrt{2} \)
- \( C = \angle B = 135° \)
- Сторона \( c = BC \), которую мы ищем.
Сначала мы находим \( \cos(135°) \): \[ \cos(135°) = -\frac{1}{\sqrt{2}}. \]
Теперь подставим все значения в формулу косинусов: \[ BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos(B). \]
Разъединим значения: \[ BC^2 = (\sqrt{106})^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{106} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right). \]
Посчитаем каждую часть: \[ BC^2 = 106 + 50 + 2 \cdot \sqrt{106} \cdot 5. \]
Упрощаем: \[ BC^2 = 106 + 50 + 10\sqrt{106}. \] \[ BC^2 = 156 + 10\sqrt{106}. \]
Теперь, чтобы найти \( BC \), нам нужно извлечь квадратный корень: \[ BC = \sqrt{156 + 10\sqrt{106}}. \]
Таким образом, длина стороны \( BC \) равна \( \sqrt{156 + 10\sqrt{106}} \). Вычислить это выражение можно с помощью калькулятора для получения численного значения.
