Вычислите косинус наименьшего угла треугольника АВС, если известны координаты вершин А(-2;2), B(3;2), С(3;-1).

Чтобы вычислить косинус наименьшего угла треугольника ABC с вершинами A(-2;2), B(3;2), C(3;-1), нужно сначала найти длины сторон треугольника. Используем форму для расчета расстояния между двумя точками.

Длины сторон треугольника можно вычислить следующим образом:

1. Найдем длину стороны AB: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(3 + 2)^2 + 0^2} = \sqrt{5^2} = 5. \]

2. Найдем длину стороны BC: \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(3 - 3)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3. \]

3. Найдем длину стороны CA: \[ CA = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}. \]

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника:

• AB = 5
• BC = 3
• CA = \(\sqrt{34}\)

Чтобы найти косинус угла, например, при вершине A (угол BAC), используем теорему косинусов: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \] где:

• a = BC = 3,
• b = CA = \(\sqrt{34}\),
• c = AB = 5.

Подставим значения: \[ \cos A = \frac{(\sqrt{34})^2 + 5^2 - 3^2}{2 \cdot \sqrt{34} \cdot 5} = \frac{34 + 25 - 9}{2 \cdot \sqrt{34} \cdot 5} = \frac{50}{10\sqrt{34}} = \frac{5}{\sqrt{34}}. \]

Теперь вычислим косинусы для углов B и C аналогичным образом:

Для угла B (угол ABC): \[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{3^2 + 5^2 - 34}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 34}{30} = \frac{0}{30} = 0. \]

Для угла C (угол ACB): \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3^2 + (\sqrt{34})^2 - 5^2}{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{34}} = \frac{9 + 34 - 25}{6\sqrt{34}} = \frac{18}{6\sqrt{34}} = \frac{3}{\sqrt{34}}. \]

Теперь у нас есть:

• \(\cos A = \frac{5}{\sqrt{34}}\),
• \(\cos B = 0\),
• \(\cos C = \frac{3}{\sqrt{34}}\).

Из этих значений видно, что наименьший угол — угол B, так как его косинус равен 0. Таким образом, косинус наименьшего угла треугольника ABC равен 0.