в abc найдите синус угла c если ab=12см,ac=3✓2см, угол b =45 градусов

Чтобы найти синус угла \( C \) в треугольнике \( ABC \), где \( AB = 12 \) см, \( AC = 3\sqrt{2} \) см и угол \( B = 45^\circ \), можно воспользоваться теоремой синусов.

Сначала найдем длину стороны \( BC \) с помощью формулы косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(B) \]

где:

• \( a = AC = 3\sqrt{2} \) см,
• \( b = AB = 12 \) см,
• \( B = 45^\circ \).

Вычислим \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[ c^2 = (3\sqrt{2})^2 + (12)^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим значения:

\[ c^2 = 18 + 144 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упрощаем второй член:

\[ 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 36 \cdot 2 = 72 \]

Теперь подставим обратно:

\[ c^2 = 18 + 144 - 72 = 90 \]

Следовательно,

\[ c = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \]

Теперь мы можем применить теорему синусов, чтобы найти \( \sin(C) \):

\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]

Здесь мы можем найти \( A \) используя синус:

\[ \frac{AC}{\sin(A)} = \frac{AB}{\sin(45^\circ)} \Rightarrow \frac{3\sqrt{2}}{\sin(A)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2} \]

Таким образом,

\[ \sin(A) = \frac{3\sqrt{2}}{12\sqrt{2}} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]

Теперь применим закон синусов, чтобы найти \( \sin(C) \):

\[ \sin(C) = \frac{c \cdot \sin(B)}{b} \]

Где:

• \( c = 3\sqrt{10} \)
• \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( b = 12 \)

Таким образом,

\[ \sin(C) = \frac{3\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12} = \frac{3\sqrt{20}}{24} = \frac{3\cdot 2 \sqrt{5}}{24} = \frac{\sqrt{5}}{4} \]

Итак, синус угла \( C \) равен \( \frac{\sqrt{5}}{4} \).