На олимпиаде были предложены 3 задачи, каждая из которых оценивалась в 0,1,2 или 3 балла. Оказалось, что среди участников нет таких, которые набрали бы одинаковое число баллов хотя бы по двум задачам. Какое наибольшее количество участников могло быть на олимпиаде

На каждой из 3 задач можно получить 0, 1, 2 или 3 балла. Таким образом, для каждой задачи есть 4 возможных исхода. Поскольку задач 3, общее количество возможных вариантов набора баллов для всех задач можно посчитать как \(4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64\).

Теперь, если предположить, что участники не могут набирать одинаковое количество баллов хотя бы по двум задачам, это означает, что для каждого участника должна быть уникальная комбинация баллов по всем 3 задачам. Каждый участник имеет конкретный набор баллов, например, (0, 1, 2), и ни один другой участник не может иметь такую же комбинацию.

Мы также можем записать каждую комбинацию баллов в виде тройки \((b_1, b_2, b_3)\), где \(b_i\) - это количество баллов по i-й задаче, и каждая \(b_i \in \{0, 1, 2, 3\}\). Это означает, что на каждой позиции тройки можно записать 4 возможных значения.

Однако условия задачи также говорят о том, что не должно быть одинаковых значений на разных позициях для разных участников. Это значит, что например если один человек получил 3 балла за первую задачу, другой не может получить 3 балла за первую задачу, даже если они могут баллы за остальные задачи.

Для каждой задачи у нас есть два ограничения:

1. Мы можем использовать только одно значении по каждой задаче.
2. Для каждой задачи в зависимости от её положения могут быть разные значения.

Давайте проанализируем комбинации, которые соответствуют данным требованиям. Важно заметить, что общее количество сочетаний будет определено количеством уникальных комбинаций, которые можно создать с учетом ограничений, а оно в свою очередь будет равно количеству пересекающихся возможных оценок.

По теореме о произведениях:

• Каждая задача имеет 4 оценки.
• Применяя принцип избежания повторений в тройках, мы можем получить:

Для первой задачи у нас 4 варианта, для второй уже 3 (так как должен быть уникальный балл) и для третьей — 2. Итак, количество уникальных комбинаций:

\[ 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \]

Однако, на каждую тройку (a, b, c) есть также 3! (факториал) перестановки, поскольку каждая тройка может также изменять свой порядок. Это увеличивает количество возможных уникальных случаев до:

\[ 24 / 6 = 4 \]

Следовательно, максимальное количество участников равно 64, что является количеством возможных уникальных тройных оценок. Таким образом, наибольшее количество участников на олимпиаде, которые могли бы участвовать при условии уникальных оценок по каждой задаче:

Наибольшее количество участников могло бы составить 64.