4sin²x+5sinx+1=0
Чтобы решить уравнение \(4\sin^2x + 5\sin x + 1 = 0\), начнем с подстановки \(y = \sin x\). Это позволяет нам переписать уравнение как:
\[4y^2 + 5y + 1 = 0.\]
Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений \(ay^2 + by + c = 0\), где \(a = 4\), \(b = 5\) и \(c = 1\). Формула дискриминанта выглядит так:
\[D = b^2 - 4ac.\]
Подставим наши значения:
\[D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9.\]
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Теперь найдем их с помощью формулы:
\[y_1, y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]
Подставим значения:
\[y_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 \pm 3}{8}.\]
Теперь вычислим оба корня:
\[y_1 = \frac{-5 + 3}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4},\]
\[y_2 = \frac{-5 - 3}{8} = \frac{-8}{8} = -1.\]
У нас есть два значения для \(\sin x\):
- \(\sin x = -\frac{1}{4}\)
- \(\sin x = -1\)
Теперь найдем углы \(x\), соответствующие этим значениям.
Для \(\sin x = -\frac{1}{4}\):
- Углы можно найти с помощью арксинуса: \[x = \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) + 2k\pi,\] где \(k\) — целое число.
Для \(\sin x = -1\):
- Это означает, что: \[x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\] где \(k\) — целое число.
Таким образом, мы получили все возможные значения \(x\) для заданного уравнения. Если у вас будут еще вопросы или потребуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!
