Имеется 10 коробок в каждой из которых положили синие и красные шарики так что в каждой коробке есть хотя бы один синий хотя бы один красный шарик Коля нашел разница между…

Для решения этой задачи рассмотрим 10 коробок, в каждой из которых находится хотя бы один синий и один красный шарик. Пусть в i-й коробке количество синих шариков обозначается как \( b_i \), а количество красных — как \( r_i \).

Коля записывал разницу между количеством шариков разных цветов так, что:

\[ d_i = |b_i - r_i| \]

Для каждой коробки \( d_i \) может принимать 10 различных значений, так как Коля записал 10 различных чисел.

Пусть в i-й коробке \( b_i \) и \( r_i \) равны \( x_i \) и \( y_i \) соответственно, где \( x_i + y_i = d_i + \min(b_i, r_i) \). Заметим, что минимальная разница \( d_i \) будет равна 1 (например, 1 синий и 2 красных), так что \( d_i \) могут быть только целыми числами, начинающими с 1 и доходя до 10.

Итак, у нас есть следующие значения для \( d_i \):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Каждое значение \( d_i \) можно получить с помощью различных комбинаций \( b_i \) и \( r_i \). Для минимизации общего количества шариков в коробках, мы можем установить \( \min(b_i, r_i) = 1 \) для каждой коробки:

• Для \( d_i = 1 \), пусть \( b_1 = 1, r_1 = 2 \); всего 3 шарика.
• Для \( d_i = 2 \), пусть \( b_2 = 1, r_2 = 3 \); всего 4 шарика.
• Для \( d_i = 3 \), пусть \( b_3 = 1, r_3 = 4 \); всего 5 шариков.
• И так далее...

Таким образом, общая сумма шариков будет:

\[ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = \sum_{k=3}^{12} k = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 3 + 54 = 57 \]

Таким образом, минимальное количество шариков, которое может быть в 10 коробках, равно 57.