В выборах главы школьного совета приняло участие 750 учеников старшей и средней школы. Было выдвинуто всего 2 кандидата — Антон и Борис, причём для победы было достаточно набрать больше половины голосов участников. В какой-то момент Антон точно понял, что уже набрал половину голосов. В этот момент из подсчитанных бюллетеней было 4% недействительных, а из остальных 90 % было за Антона, а 10 % — за Бориса. Какое наименьшее количество бюллетеней могло быть подсчитано к этому моменту?

Давайте разберёмся с условиями задачи.

Итак, всего проголосовало 750 учеников. Для победы необходимо набрать больше половины голосов, то есть более 375 голосов.

1. Определим количество действительных бюллетеней. Из условия следует, что 4% бюллетеней недействительные. Это значит, что 96% бюллетеней действительны.

   Давайте обозначим количество подсчитанных бюллетеней как \( x \). Из них 4% недействительных, следовательно количество недействительных бюллетеней: \[ 0.04x \] Таким образом, количество действительных бюллетеней: \[ 0.96x \]

2. Определим голоса за Антона и Бориса. Из оставшихся действительных бюллетеней 90% за Антона и 10% за Бориса. Значит, количество голосов за Антона равно: \[ 0.9 \times 0.96x = 0.864x \] А количество голосов за Бориса: \[ 0.1 \times 0.96x = 0.096x \]

3. Условия для победы. Антон должен был уже набрать больше половины голосов, то есть: \[ 0.864x > 375 \] Решим это неравенство: \[ x > \frac{375}{0.864} \approx 434.025 \] Так как количество подсчитанных бюллетеней \( x \) должно быть целым числом, минимально возможное значение для \( x \): \[ x \geq 435 \]

4. Проверим, возможно ли, что при \( x = 435 \) Антон действительно набрал больше 375 голосов. Подсчитаем количество действительных бюллетеней: \[ 0.96 \times 435 = 417.6 \] Это число также должно быть целым, подсчитанные голосов будут ближе к 418.

   Количество голосов за Антона при \( x = 435 \): \[ 0.9 \times 417.6 = 375.84 \] Это означает, что за Антона было 376 голосов, а за Бориса: \[ 0.1 \times 417.6 = 41.76 \] Это около 42 голосов.

   Общее количество действительных бюллетеней: 418. Недействительные бюллетени: \[ 0.04 \times 435 = 17.4 \] Это около 17 бюллетеней.

5. Проанализируем результаты: Если Антон набрал 376 голосов, это больше чем 375. Таким образом, он и вправду подтвердил, что у него больше половины голосов при минимальном подсчитанном количестве бюллетеней.

Ответ: Наименьшее количество бюллетеней, которое могло быть подсчитано к этому моменту — 435.