На олимпиаде были предложены 4 задачи, каждая из которых оценивалась в 0,1,2 или 3 балла. Оказалось, что среди участников нет таких, которые набрали бы одинаковое число баллов…

На этой задаче мы можем использовать принцип комбинирования и рассмотреть возможные оценки за каждую из задач.

Каждая из четырех задач может быть оценена в 0, 1, 2 или 3 балла. Это означает, что для каждой задачи у нас есть 4 возможных оценки. Поскольку задач у нас 4, общее количество различных комбинаций оценок, которые участник может получить, вычисляется по формуле:

\[ 4^4 = 256. \]

Однако, условие задачи гласит, что среди участников нет таких, которые набрали бы одинаковое количество баллов по хотя бы двум задачам. Это означает, что для каждого участника должны быть уникальные оценки по каждому из 4 заданий. То есть, каждый участник может иметь разные комбинаторные оценки, что сильно ограничивает количество возможных уникальных дистрибуций.

Каждый участник может получить свою уникальную комбинацию оценок, но при этом должен соответствовать правилу уникальности по каждой задаче.

В этой ситуации, чтобы максимизировать количество участников, нам нужно, чтобы все они имели уникальные наборы из 4 оценок, при этом каждое значение оценки в наборе (по каждой задаче) также уникально.

Таким образом, нам нужно применить метод, известный как «пермутация с повторениями», где у нас есть 4 задачи и 4 возможные оценки по каждой задаче. Правильный способ рассмотреть проблему - это сопоставить участникам уникальные наборы оценок, которые формируются по всем правилам.

Для решения можно также применить технику колледжского диагонального обхода (или кубической матрицы), чтобы оптимизировать оценивание уникальных наборов:

Наибольшее количество участников, которое можно получить при предлагаемых способах оценивания — это 24 уникальных комбинации, которые можно сформировать при условии, которое дает нам 4! (факториал от 4).

Таким образом, максимальное количество участников, которое могло быть на олимпиаде — это 24.