Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (x;y), удовлетворяющих соотношению ||x|-|y||=1, а Ваня нарисовал синим фломастером стороны квадрата с…

Рассмотрим множество точек \((x; y)\), удовлетворяющих условию \(\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \rvert = 1\). Это соотношение определяет границы двух линий, что можно переписать так:

1. \(\lvert x \rvert - \lvert y \rvert = 1\)
2. \(\lvert y \rvert - \lvert x \rvert = 1\)

Эти уравнения можно рассмотреть в разных случаях, учитывая знаки \(x\) и \(y\):

1. Случай 1: \(x \geq 0\), \(y \geq 0\):
   \[ x - y = 1 \implies y = x - 1 \]
2. Случай 2: \(x \geq 0\), \(y < 0\):
   \[ x + y = 1 \implies y = 1 - x \]
3. Случай 3: \(x < 0\), \(y \geq 0\):
   \[ -x - y = 1 \implies y = -1 - x \]
4. Случай 4: \(x < 0\), \(y < 0\):
   \[ -x + y = 1 \implies y = x + 1 \]

Мы найдем линии:

1. \(y = x - 1\) (1-я четверть)
2. \(y = 1 - x\) (1-я и 2-я четверти)
3. \(y = -1 - x\) (2-я и 3-я четверти)
4. \(y = x + 1\) (3-я и 4-я четверти)

Отметим, что все линии будут пересекаться по двум осям. Теперь найдем точки пересечения этих линий с границами квадрата с вершинами в (12;12), (-12;12), (12;-12), (-12;-12).

Границы квадрата:

1. \(y = 12\) для \(x \in [-12, 12]\)
2. \(y = -12\) для \(x \in [-12, 12]\)
3. \(x = 12\) для \(y \in [-12, 12]\)
4. \(x = -12\) для \(y \in [-12, 12]\)

Теперь проверим, какие пересечения находятся в пределах квадрата:

1. Для \(y = x - 1\):

   • При \(y = 12\): \(12 = x - 1 \Rightarrow x = 13\) (не в квадрате)
   • При \(y = -12\): \(-12 = x - 1 \Rightarrow x = -11\) (в квадрате, точка (-11; -12))

2. Для \(y = 1 - x\):

   • При \(y = 12\): \(12 = 1 - x \Rightarrow x = -11\) (в квадрате, точка (-11; 12))
   • При \(y = -12\): \(-12 = 1 - x \Rightarrow x = 13\) (не в квадрате)

3. Для \(y = -1 - x\):

   • При \(y = 12\): \(12 = -1 - x \Rightarrow x = -13\) (не в квадрате)
   • При \(y = -12\): \(-12 = -1 - x \Rightarrow x = -11\) (в квадрате, точка (-11; -12))

4. Для \(y = x + 1\):

   • При \(y = 12\): \(12 = x + 1 \Rightarrow x = 11\) (в квадрате, точка (11; 12))
   • При \(y = -12\): \(-12 = x + 1 \Rightarrow x = -13\) (не в квадрате)

Теперь найдем пересечения на границах по оси \(x\):

• \(y = 12\): \(x = 12\) подходит для линии \(y = x - 1 \Rightarrow (12, 11)\) (включается)
• \(y = -12\): \(x = -12\) не подходит.

Таким образом, мы имеем две точки: (-11, 12), (11, -12).

Итак, в квадрате всего 4 пересечения.

Кратко:

• Пересечения: \( (-11, -12), (-11, 12), (11, 12) \)
• Количество точек, покрашенных и в синий, и в красный цвет: 4.