В прямоугольный треугольник АВС со сторонами АС = 24, ВС = 7 вписана полуокружность так, как показано на рисунке. Центр полуокружности лежит на стороне АС, полуокружность касается сторон АВ и ВС. Найдите расстояние от точки А до точки касания на АВ.

Для решения задачи начнем с обозначения точек и использования известных свойств прямоугольных треугольников. У нас есть треугольник \( ABC \) с прямым углом в точке \( B \), где \( AC = 24 \) и \( BC = 7 \). Так как в треугольнике \( ABC \) соблюдается Пифагорова теорема, можем найти длину стороны \( AB \):

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25. \]

Теперь найдем радиус полуокружности, вписанной в треугольник. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле:

\[ r = \frac{a + b - c}{2}, \]

где \( a \) и \( b \) - это катеты, а \( c \) - гипотенуза. Подставим значения:

\[ a = AC = 24, \quad b = BC = 7, \quad c = AB = 25. \]

Теперь подставляем в формулу радиуса:

\[ r = \frac{24 + 7 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3. \]

Таким образом, радиус полуокружности равен \( 3 \).

Теперь определим, где именно касается полуокружность стороны \( AB \). Поскольку центр полуокружности находится на стороне \( AC \), и она касается сторон \( AB \) и \( BC \), точка касания на \( AB \) будет находиться на расстоянии \( r \) от точки касания на стороне \( AC \).

Итак, расстояние от точки \( A \) (верхней точки треугольника) до точки касания на \( AB \) будет равно радиусу вписанной окружности \( r \):

\[ \text{Расстояние от } A \text{ до точки касания на } AB = r = 3. \]

Таким образом, ответ: расстояние от точки \( A \) до точки касания на \( AB \) равно \( 3 \).