В выборах главы школьного совета приняло участие 1200 учеников старшей и средней школы. Было выдвинуто всего 2 кандидата Антон и Борис, причём для победы было достаточно набрать больше половины голосов участников. В какой-то момент Антон точно понял, что уже набрал половину голосов. В этот момент из подсчитанных бюллетеней было 8 % недействительных, а из остальных 60 % было за Антона, а 40 % за Бориса. Какое наименьшее количество бюллетеней могло быть подсчитано к этому моменту?
Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.
Общее количество участников: 1200 учеников.
Необходимое количество голосов для победы: Для победы нужно набрать больше половины голосов. Половина от 1200 - это 600, следовательно, для победы необходимо получить минимум 601 голос.
Недействительные бюллетени: Из подсчитанных бюллетеней 8% были недействительными. Пусть \( N \) - это общее количество подсчитанных бюллетеней. Тогда количество недействительных бюллетеней составляет \( 0.08N \), а действительных - \( 0.92N \).
Голоса за Антона и Бориса: Из действительных бюллетеней 60% было за Антона и 40% за Бориса. Это значит, что:
- Голоса за Антона: \( 0.6 \times 0.92N = 0.552N \)
- Голоса за Бориса: \( 0.4 \times 0.92N = 0.368N \)
Условие для Антона: Известно, что Антон уже набрал половину голосов, то есть: \[ 0.552N \geq 601 \]
Решим неравенство: \[ N \geq \frac{601}{0.552} \approx 1089.87 \] Каждое \( N \) должно быть целым числом, значит, минимальное возможное значение \( N \) равно 1090.
Подтвердим количество голосов: Рассчитаем количество действительных голосов при \( N = 1090 \):
- Количество недействительных: \( 0.08 \times 1090 = 87.2 \) (округляем до 87).
- Количество действительных: \( 1090 - 87 = 1003 \).
Теперь подсчитаем голоса:
- Голоса за Антона: \( 0.6 \times 1003 \approx 601.8 \) (округляем до 602).
- Голоса за Бориса: \( 0.4 \times 1003 \approx 401.2 \) (округляем до 401).
Таким образом, в этой ситуации Антон получает 602 голоса, что больше 601.
Поэтому наименьшее количество бюллетеней, которое могло быть подсчитано к моменту, когда Антон понял, что у него половина голосов — это 1090.
