Три круга радиусами 2, 4 и 6 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 2 и радиусом 4 касаются в точке А, а круги радиусом 4 и радиусом 6 в точке В. Найдите…

Чтобы найти расстояние \( AB \), умноженное на \( \sqrt{5} \), начнем с определения координат касательных точек и расположения кругов.

Пусть центры кругов радиусами 2, 4 и 6 обозначаются как \( O_1 \), \( O_2 \), и \( O_3 \) соответственно. Мы можем расположить круги на плоскости для упрощения расчетов.

1. Разместим круг радиусом 2 с центром в точке \( O_1(0, 0) \).
2. Круг радиусом 4 будет расположен так, чтобы он касался первого круга. Его центр \( O_2 \) будет на расстоянии \( 2 + 4 = 6 \) от \( O_1 \). Зафиксируем его в точке \( O_2(6, 0) \).
3. Круг радиусом 6 будет касаться второго круга и его центр \( O_3 \) будет на расстоянии \( 4 + 6 = 10 \) от \( O_2 \). Таким образом, \( O_3 \) находится в точке \( O_3(16, 0) \).

Теперь найдем координаты точек касания \( A \) и \( B \).

• Точка \( A \) - это точка касания кругов радиусом 2 и 4. Она лежит на линии, соединяющей их центры. Поскольку круги касаются, координаты точки \( A \) будут равны: \[ A\left(\frac{0 + 6}{2}, 0\right) = A(3, 0). \]

• Точка \( B \) - это точка касания кругов радиусом 4 и 6. Она также находится на линии, соединяющей их центры: \[ B\left(\frac{6 + 16}{2}, 0\right) = B(11, 0). \]

Теперь можно найти расстояние \( AB \): \[ AB = |3 - 11| = 8. \]

Следовательно, расстояние \( AB \), умноженное на \( \sqrt{5} \), равно: \[ AB \cdot \sqrt{5} = 8 \cdot \sqrt{5}. \]

Таким образом, ответ: \( 8\sqrt{5} \).