Три круга радиусами 2, 4 и 6 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 2 и радиусом 4 касаются в точке А, а круги радиусом 4 и радиусом 6 в точке В. Найдите расстояние АВ, умноженное на √5.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть три круга с радиусами 2, 4 и 6, которые касаются друг друга внешним образом.

1. Расположение кругов:

   • Обозначим круги как \(C_1\) (радиус 2), \(C_2\) (радиус 4) и \(C_3\) (радиус 6).

   • Если \(C_1\) и \(C_2\) касаются в точке \(A\), их центры расположены на расстоянии равном сумме их радиусов: \[ d_{12} = r_1 + r_2 = 2 + 4 = 6. \]

   • Аналогично, для кругов \(C_2\) и \(C_3\), расстояние между их центрами равно: \[ d_{23} = r_2 + r_3 = 4 + 6 = 10. \]

2. Координаты центра кругов:

   • Пусть центр круга \(C_1\) расположен в начале координат \((0, 0)\).
   • Тогда центр круга \(C_2\) будет находиться на расстоянии 6 вдоль оси \(x\) от \(C_1\), т.е. в точке \((6, 0)\).
   • Теперь определим положение центра круга \(C_3\) относительно центра \(C_2\). Центр круга \(C_3\) должен находиться на расстоянии 10 от центра \(C_2\) в любом направлении. Мы можем выбрать, например, что он находится на оси \(y\) и его координаты равны \((6, 10)\).

3. Нахождение точек контакта:

   • Точка \(A\) — это точка касания кругов \(C_1\) и \(C_2\). Поскольку они касаются, точка \(A\) будет находиться на расстоянии радиуса \(C_1\) от его центра, т.е. в точке \((2, 0)\).
   • Точка \(B\) — это точка касания кругов \(C_2\) и \(C_3\). Она будет находиться на расстоянии радиуса \(C_2\) от его центра, т.е. в точке \((6, 4)\).

4. Нахождение расстояния \(AB\):

   • Теперь, зная координаты точек \(A(2, 0)\) и \(B(6, 4)\), мы можем найти расстояние между ними по формуле: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(6 - 2)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}. \]

5. Нахождение выражения \(AB \cdot \sqrt{5}\):

   • Умножим расстояние \(AB\) на \(\sqrt{5}\): \[ AB \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{10}. \]

Таким образом, мы нашли, что расстояние \(AB\), умноженное на \(\sqrt{5}\), равно \(4\sqrt{10}\).