Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см. Его гипотенуза равна 37 см. Найти площадь прямоугольного треугольника.
Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.
У нас есть прямоугольный треугольник, у которого периметр равен 84 см, а гипотенуза (d) равна 37 см. Мы ищем площадь этого треугольника.
Обозначим стороны прямоугольного треугольника:
- Гипотенуза (d) = 37 см,
- Одна катета (a),
- Другой катет (b).
Периметр треугольника (P) равен сумме всех его сторон: \[ P = a + b + d = 84 \text{ см} \]
Подставим значение гипотенузы: \[ a + b + 37 = 84 \]
Теперь решим уравнение для \( a + b \): \[ a + b = 84 - 37 = 47 \text{ см} \]
Теперь у нас есть две стороны: \( a + b = 47 \) см и гипотенуза \( d = 37 \) см. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения выражения для площади.
По теореме Пифагора: \[ d^2 = a^2 + b^2 \] Подставим значение гипотенузы: \[ 37^2 = a^2 + b^2 \] \[ 1369 = a^2 + b^2 \]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( a + b = 47 \)
- \( a^2 + b^2 = 1369 \)
Мы можем выразить одну сторону через другую. Пусть \( b = 47 - a \). Подставим это в уравнение для \( a^2 + b^2 \): \[ a^2 + (47 - a)^2 = 1369 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (2209 - 94a + a^2) = 1369 \] Получим: \[ 2a^2 - 94a + 2209 - 1369 = 0 \] Упростим: \[ 2a^2 - 94a + 840 = 0 \] Разделим всё на 2: \[ a^2 - 47a + 420 = 0 \]
Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае: \[ a = \frac{47 \pm \sqrt{(-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420}}{2 \cdot 1} \] Вычислим дискриминант: \[ 2209 - 1680 = 529 \] Тогда: \[ a = \frac{47 \pm 23}{2} \] Это даёт два возможных корня: \( a_1 = \frac{70}{2} = 35 \) и \( a_2 = \frac{24}{2} = 12 \).
Из данного значения \( a \) мы можем найти \( b \):
- Если \( a = 35 \), то \( b = 47 - 35 = 12 \).
- Если \( a = 12 \), то \( b = 47 - 12 = 35 \).
Теперь у нас есть размеры катетов: \( a = 12 \) см и \( b = 35 \) см.
- Наконец, найдём площадь (S) прямоугольного треугольника по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = 210 \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 210 см².
