В летнем лагере 25 детей. В первый день мальчики пошли в кино, а девочки - в бассейн. Во второй день все девочки пошли в кино, а мальчики — наоборот, в бассейн. Оказалось, что в первый день за все виды досуга было заплачено на 1313 рублей больше, чем во второй день. Известно, что посещение бассейна дороже, чем билет в кино. Сколько в лагере мальчиков?

Обозначим количество мальчиков в лагере как \( x \), а количество девочек как \( y \). Поскольку всего детей 25, у нас есть уравнение:

\[ x + y = 25 \]

Пусть \( k \) - цена билета в кино, а \( b \) - цена посещения бассейна. По условию задачи, посещение бассейна дороже, чем билет в кино, значит:

\[ b > k \]

Теперь рассмотрим расходы на досуг в каждый из дней:

• Первый день: мальчики пошли в кино, девочки — в бассейн. Расходы составляют: \[ x \cdot k + y \cdot b \]

• Второй день: девочки пошли в кино, мальчики — в бассейн. Расходы составляют: \[ y \cdot k + x \cdot b \]

По условию задачи, расходы первого дня на 1313 рублей выше, чем расходы второго дня. Это можно записать как:

\[ x \cdot k + y \cdot b = y \cdot k + x \cdot b + 1313 \]

Распределим и упростим уравнение:

\[ x \cdot k + y \cdot b - y \cdot k - x \cdot b = 1313 \]

\[ (x - y) \cdot k + (y - x) \cdot b = 1313 \]

\[ (x - y) \cdot k - (x - y) \cdot b = 1313 \]

\[ (x - y) \cdot (k - b) = 1313 \]

Теперь выделим \( x - y \). Поскольку \( b > k \), \( k - b < 0 \), значит \( (x - y) \) и \( (k - b) \) должны иметь разные знаки. Таким образом:

\[ x - y < 0 \implies y - x > 0 \implies y > x \]

Мы можем выразить \( y \) через \( x \):

\[ y = 25 - x \]

Подставим это в уравнение:

\[ (25 - x - x) \cdot (k - b) = 1313 \]

\[ (25 - 2x) \cdot (k - b) = 1313 \]

Теперь, так как \( k - b < 0 \), то:

\[ 25 - 2x < 0 \implies 2x > 25 \implies x > 12.5 \]

Поскольку \( x \) - целое число, то \( x \geq 13 \). Также мы знаем, что \( y > x\), а значит \( y \) может принимать минимальное значение 14, что соответствует \( x = 11\).

Давайте проверим допустимые значения для \( x \):

Если \( x = 11 \), то \( y = 25 - 11 = 14\). Это дает нам:

\[ (25 - 2 \cdot 11) \cdot (k - b) = 1313 \] \[ (25 - 22) \cdot (k - b) = 1313 \] \[ 3(k - b) = 1313 \implies k - b = \frac{1313}{3} \text{ (некоторые значения)} \]

К сожалению, это не дает нам конкретных целых решений.

Если проверять значения \( x \) от \( 13 \) до \( 25 \):

• Проверяем \( x = 12 \): \( y = 13\)
• Проверяем \( x = 11 \): \( y = 14\)
• Проверяем \( x = 10 \): \( y = 15\). Это дает 15.

Таким образом, верно и:

• Кол-во мальчиков = 12
• Кол-во девочек = 13.

Итак, число мальчиков в лагере равно 12.