Вычислить cos²45° - sin² 150° + cos120°

Давайте решим данное выражение шаг за шагом.

1. Сначала вычислим \( \cos^2 45^\circ \): \[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

2. Теперь найдем \( \sin 150^\circ \): \[ \sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin^2 150^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

3. Теперь подставим найденные значения в выражение \( \cos^2 45^\circ - \sin^2 150^\circ \): \[ \cos^2 45^\circ - \sin^2 150^\circ = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \]

4. Далее вычислим \( \cos 120^\circ \): \[ \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \]

5. Сложим все части вместе: \[ \frac{1}{4} + \cos 120^\circ = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4} \]

Итак, окончательный ответ: \[ \cos^2 45^\circ - \sin^2 150^\circ + \cos 120^\circ = -\frac{1}{4} \]