Прямая, параллельная основанию треугольника, делит две другие его стороны в отношении 5 : 7, считая от их общей вершины. Найдите отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, если его основание равно 6. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобия треугольников.

Обозначим основание треугольника как \(AB\), а вершину как \(C\). Прямая, параллельная основанию \(AB\), делит стороны \(AC\) и \(BC\) в отношении \(5:7\). Это означает, что, считая от вершины \(C\), отрезок \(AD\) на стороне \(AC\) будет равен \(5x\), а отрезок \(DB\) на стороне \(BC\) будет равен \(7x\), где \(x\) — некоторый коэффициент.

Общая длина отрезков на каждой стороне равна:

\[ 5x + 7x = 12x. \]

Поскольку прямая параллельна основанию, отрезки на основании \(AB\) и на отрезках \(AD\) и \(DB\) находятся в одинаковом соотношении. Следовательно, отрезок \(DE\), где \(D\) и \(E\) — точки пересечения параллельной прямой и сторон \(AC\) и \(BC\) соответственно, также будет соотноситься с основанием:

\[ \frac{DE}{AB} = \frac{5}{12}. \]

Теперь, зная, что основание \(AB\) равно 6, можем выразить \(DE\):

\[ DE = AB \cdot \frac{5}{12} = 6 \cdot \frac{5}{12} = \frac{30}{12} = 2.5. \]

Таким образом, длина отрезка прямой, заключённого внутри треугольника, составляет 2.5.