В летнем лагере 25 детей. В первый день мальчики пошли в кино, а девочки - в бассейн. Во второй день все девочки пошли в кино, а мальчики - наоборот, в бассейн. Оказалось, что в первый день за все виды досуга было заплачено на 1313 рублей больше, чем во второй день. Известно, что посещение бассейна дороже, чем билет в кино. Сколько в лагере мальчиков? Указать все подходящие варианты.

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

1. Обозначим количество мальчиков в лагере как \( x \), тогда количество девочек будет \( 25 - x \).

2. Пусть стоимость билета в кино равна \( k \) рублей, а стоимость посещения бассейна равна \( b \) рублей. Из условия задачи известно, что \( b > k \).

3. В первый день за развлечения была уплачена следующая сумма:

   • Мальчики пошли в кино: \( x \cdot k \)
   • Девочки пошли в бассейн: \( (25 - x) \cdot b \)

   Таким образом, общая сумма за первый день составит: \[ S_1 = x \cdot k + (25 - x) \cdot b \]

4. Во второй день:

   • Все девочки пошли в кино: \( (25 - x) \cdot k \)
   • Мальчики пошли в бассейн: \( x \cdot b \)

   Общая сумма за второй день будет: \[ S_2 = (25 - x) \cdot k + x \cdot b \]

5. Согласно условию, за первый день было уплачено на 1313 рублей больше, чем за второй день: \[ S_1 = S_2 + 1313 \]

6. Подставим выражения для \( S_1 \) и \( S_2 \) в это равенство: \[ x \cdot k + (25 - x) \cdot b = (25 - x) \cdot k + x \cdot b + 1313 \]

7. Упростим это равенство: \[ x \cdot k + 25b - xb = 25k - xk + xb + 1313 \] \[ x \cdot k + 25b - xb = 25k - xk + xb + 1313 \] Перепишем: \[ 2xk - 2xb + 25b - 25k = 1313 \]

   Или можно вынести общий множитель: \[ 2x(k - b) + 25(b - k) = 1313 \]

8. Теперь выделим выражение, которое зависит от \( x \): \[ 2x(k - b) = 1313 - 25(b - k) \]

9. Мы видим, что \( k - b \) отрицательно, так как \( b > k \). Из этого уравнения можно выразить \( x \): \[ x = \frac{1313 - 25(b - k)}{2(k - b)} \]

10. Поскольку \( x \) должно быть целым числом, можем рассмотреть различные значения для \( x \). Поскольку всего детей 25, \( x \) может принимать значения от 0 до 25.

11. Проверяем возможные значения для \( x \):

Если мы подставим разные целые значения (от 0 до 25) для \( x \) и подберем такие значения для \( b \) и \( k \), чтобы уравнение выполнялось, можем найти все возможные решения.

Можно посмотреть значения:

• Если \( x = 10 \), то девочек будет 15 (допустимо);
• Если \( x = 15 \), девочек 10 (тоже приемлемо);
• Если \( x = 20 \), девочек 5 (всё ещё возможно);
• Если \( x = 25 \), то девочек не будет (неподходящее значение).

Таким образом, все подходящие варианты для \( x \) – 10, 15, 20.

В заключение, возможные количества мальчиков в лагере могут быть: 10, 15 и 20.