Три круга радиусом 2, 4 и 6 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 2 и радиусом 4 касаются в точке A, а круги радиусом 4 и радиусом 6 - в точке B. Найдите расстояние AB, умноженное на корень из 5.

Для решения задачи о трех кругах, которые касаются друг друга внешним образом, давайте обозначим радиусы кругов:

• \( R_1 = 2 \) (первый круг),
• \( R_2 = 4 \) (второй круг),
• \( R_3 = 6 \) (третий круг).

Круги касаются друг друга в точках, которые мы обозначим как A и B.

1. Расположение кругов: Круги можно разместить на координатной плоскости так, чтобы их центры находились на прямой. Пусть центр круга радиусом 2 будет в начале координат \((0, 0)\), центр круга радиусом 4 будет в точке \((2 + 4, 0) = (6, 0)\), а центр круга радиусом 6 будет в точке \((4 + 6 + 2, 0) = (12, 0)\).

2. Расстояния между центрами кругов:

   • Расстояние между центрами кругов радиусом 2 и 4: \[ d_{12} = R_1 + R_2 = 2 + 4 = 6. \]
   • Расстояние между центрами кругов радиусом 4 и 6: \[ d_{23} = R_2 + R_3 = 4 + 6 = 10. \]

3. Координаты центров кругов:

   • Центр круга радиусом 2: \((0, 0)\).
   • Центр круга радиусом 4: \((6, 0)\).
   • Центр круга радиусом 6: \((16, 0)\).

4. Определение точек касания A и B:

   • Точка A, где касаются круги радиусом 2 и 4, будет находиться в \((R_1, 0) = (2, 0)\).
   • Точка B, где касаются круги радиусом 4 и 6, будет находиться в \((6 + R_2, 0) = (16, 0)\).

5. Расстояние AB:

   • Дистанция AB: \[ AB = |16 - 2| = 14. \]

6. Умножение на корень из 5:

   • Итоговое значение: \[ AB \cdot \sqrt{5} = 14 \cdot \sqrt{5}. \]

Таким образом, расстояние AB, умноженное на корень из 5, равно \(14\sqrt{5}\).