Три круга радиусами 2, 4 и 6 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 2 и радиусом 4 касаются в точке А, а круги радиусом 4 и радиусом 6 в точке В. Найдите расстояние АВ, умноженное на √5.

Чтобы найти расстояние \( AB \), умноженное на \( \sqrt{5} \), начнем с определения положения кругов и их взаимного расположения.

1. Обозначим радиусы кругов:

   • Круг \( R_1 \) с радиусом \( r_1 = 2 \)
   • Круг \( R_2 \) с радиусом \( r_2 = 4 \)
   • Круг \( R_3 \) с радиусом \( r_3 = 6 \)

2. Положим центры кругов в следующие точки:

   • Центр круга \( R_1 \) будет в точке \( (0; 0) \).
   • Центр круга \( R_2 \), отдаленный от центра \( R_1 \) на расстояние \( r_1 + r_2 = 2 + 4 = 6 \), можно разместить в точке \( (6; 0) \).
   • Центр круга \( R_3 \) от центра \( R_2 \) расположен на расстоянии \( r_2 + r_3 = 4 + 6 = 10 \). Если поместим центр \( R_3 \) на ось, то он будет в точке \( (6 + 10; 0) = (16; 0) \).

3. Теперь найдем координаты точек касания:

   • Точка \( A \), где круги \( R_1 \) и \( R_2 \) касаются, находится на расстоянии \( r_1 = 2 \) от \( R_1 \) и \( r_2 = -4 \) от \( R_2 \). Она будет находиться в точке \( (2; 0) \).
   • Точка \( B \), где круги \( R_2 \) и \( R_3 \) касаются, находится на расстоянии \( r_2 = 4 \) от \( R_2 \) и \( r_3 = -6 \) от \( R_3 \). Она расположена в точке \( (4 + 6 + 4; 0) = (10; 0) \).

4. Теперь найдем расстояние \( AB \): \[ AB = |x_B - x_A| = |10 - 2| = 8. \]

5. Умножим это расстояние на \( \sqrt{5} \): \[ AB \cdot \sqrt{5} = 8 \cdot \sqrt{5}. \]

Таким образом, ответом будет \( 8\sqrt{5} \).