Артём записал на доске четырёхзначное число — такое, что два старших и два младших разряда образуют последовательные двузначные числа (старшие разряды образуют большее из чисел).…

Давайте рассмотрим условие задачи. Пусть число, которое записал Артём, имеет вид \(ABCD\), где \(AB\) и \(CD\) — это два двузначных числа, причем \(AB > CD\) и они последовательные. То есть можно записать их как \(AB = n\) и \(CD = n - 1\) для некоторого двузначного числа \(n\).

Таким образом, четырёхзначное число будет иметь вид: \[ 1000A + 100B + 10C + D = 100n + (n - 1) = 101n - 1 \]

Чтобы число делилось на 51, требуем: \[ 101n - 1 \equiv 0 \pmod{51} \] или \[ 101n \equiv 1 \pmod{51} \]

Решим это уравнение. Сначала найдем \(101 \mod 51\): \[ 101 \div 51 \approx 1.980 \quad \Rightarrow \quad 101 - 51 \cdot 1 = 50 \] Следовательно, нам нужно решить: \[ 50n \equiv 1 \pmod{51} \]

Чтобы найти обратное число для 50 по модулю 51, можно применить методы расширенного алгоритма Евклида либо проверить значения \(n\) от 1 до 50.

Проверим вручную:

• Для \(n = 1\): \(50 \cdot 1 = 50 \mod 51 = 50\)
• Для \(n = 2\): \(50 \cdot 2 = 100 \mod 51 = 49\)
• ...
• Для \(n = 50\): \(50 \cdot 50 = 2500 \mod 51 = 37\)

И так далее. В процессе вычислений мы находим, что для \(n = 50\): \[ 50 \cdot 50 \mod 51 = 49 \, \] и т.д. Однако, в данном случае, само число \(n\) четко дает результат до 1, так что проверяем по убыванию:

• ...
• Для \(n = 16\): \(50 \cdot 16 \mod 51 = 1\) найдено \(n = 16\)

Это даёт: \[ K = n = 16 \quad \rightarrow \quad 16, 15 \quad \text{для чисел: } 1615 \]

Проверка: \(1615 \div 51 = 31.68\) — не подходит.

Следующий кандидат \(n = 17\) даст: \[ n = 17; \quad 17 > 16; \quad 1716 \]

Проверка: \(1716 \div 51 = 34\) — подходит.

Так можно получить:

• 1716
• 1817 и так далее.

Полный список чисел:

• 1615,
• 1716,
• 1817,

Подходящие варианты — все найдены.

Далее стоит проверка на остальное.

Ответы: 1716, 1817, 1918, 2020 и так далее. Если посмотреть по очереди, Вы получите ровно все числа, делящиеся на 51, и шаг за шагом сформировав 4 разрядные числа.

Надеюсь это стратегическое решение базируется на поиске и подтверждении возможных чисел, и давайте проверим ещё раз:

• Все ли проверки совпадают со старшими и младшими?

Таким образом, итогом вашего запроса будет соответствующие числа: 17, 15,

Если хотите больше вариантов, можно выходить — развивать проблему с последовательностью n.

Пожалуйста! Если будет нужна дополнительная информация, дайте знать, возможны и другие подходы!