Постройте в прямоугольной системе координат A(3;-1;2) и B(-1;1;4). а) Найдите вектор AB, его координаты и модули.

Давайте рассмотрим задание. У нас есть две точки в трехмерной прямоугольной системе координат: точка A(3; -1; 2) и точка B(-1; 1; 4).

Для нахождения вектора AB, мы используем следующую формулу:

\[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} \]

где координаты вектора AB вычисляются по следующей формуле:

• Для величины по оси X: \( x_B - x_A \)
• Для величины по оси Y: \( y_B - y_A \)
• Для величины по оси Z: \( z_B - z_A \)

Подставляем наши координаты:

• \( x_A = 3 \), \( y_A = -1 \), \( z_A = 2 \)
• \( x_B = -1 \), \( y_B = 1 \), \( z_B = 4 \)

Теперь подставляем значения в формулы:

1. \( x_{AB} = -1 - 3 = -4 \)
2. \( y_{AB} = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \)
3. \( z_{AB} = 4 - 2 = 2 \)

Таким образом, координаты вектора \(\vec{AB}\) равны \((-4; 2; 2)\).

Теперь давайте найдём модуль вектора AB. Модуль вектора может быть найден по формуле:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_{AB})^2 + (y_{AB})^2 + (z_{AB})^2} \]

Подставим наши значения:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} \]

Модуль вектора AB можно упростить:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Итак, мы получили:

• Вектор AB: \((-4; 2; 2)\)
• Модуль вектора AB: \(2\sqrt{6}\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!