Артём записал на доске четырёхзначное число такое, что два старших и два младших разряда образуют последовательные двузначные числа (старшие разряды образуют меньшее из двузначных…

Пусть четырёхзначное число обозначим как \(ABCD\), где \(AB\) - это два старших разряда, и \(CD\) - два младших разряда. По условию задачи, числа \(AB\) и \(CD\) образуют последовательные двузначные числа, то есть:

\[ AB = n \quad \text{и} \quad CD = n + 1 \]

где \(n\) - это двузначное число. Таким образом, четырёхзначное число можно представить как:

\[ N = 1000A + 100B + 10C + D = 100 \cdot AB + CD = 100n + (n + 1) = 101n + 1 \]

Теперь, по условию задачи, это число \(N\) должно быть кратно 51:

\[ 101n + 1 \equiv 0 \mod 51 \]

Это можно записать как:

\[ 101n \equiv -1 \mod 51 \]

Теперь вычислим \(101 \mod 51\):

\[ 101 \div 51 = 1 \quad \text{остаток } 50 \quad \Rightarrow \quad 101 \equiv 50 \mod 51 \]

Подставляем это значение в уравнение:

\[ 50n \equiv -1 \mod 51 \]

Теперь нужно найти обратный элемент к \(50 \mod 51\). Можно заметить, что:

\[ 50 \equiv -1 \mod 51 \quad \Rightarrow \quad 50n \equiv -1 \mod 51 \quad \Rightarrow \quad n \equiv 1 \mod 51 \]

Это приводит к следующему:

\[ n = 1 + 51k \quad \text{(где \(k\) - целое число)} \]

Из-за ограничения на \(n\) как двузначное число, мы имеем следующее ограничение:

\[ 10 \leq n < 100 \]

Рассмотрим возможно значения \(k\):

1. Для \(k = 0\): \[ n = 1 \quad \text{(не подходит, так как не двузначное)} \]

2. Для \(k = 1\): \[ n = 52 \quad \Rightarrow \quad AB = 52, \quad CD = 53 \quad \Rightarrow \quad N = 5253 \]

3. Для \(k = 2\): \[ n = 103 \quad \text{(не подходит, так как не двузначное)} \]

Таким образом, мы нашли только одно подходящее число:

\[ \boxed{5253} \]