Артём записал на доске шестизначное число такое, что три старших и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа (старшие разряды образуют меньшее из чисел). Известно, что записанное на доске число делится на 501. Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты.

Давайте разберемся с задачей, которую поставил Артём. Он записал шестизначное число, состоящее из двух трёхзначных последовательных чисел. Обозначим три старших цифры как \(abc\), а три младших как \(abc + 1\). Таким образом, шестизначное число можно записать как \(abcabc + 1\).

Поскольку число делится на 501, сначала определим, что такое 501. Его разложение на простые множители:

\[ 501 = 3 \times 167 \]

Теперь мы ищем шестизначные числа, которые соответствуют нашему условию и делятся на 501. Поскольку \(abc\) — это трёхзначное число, его диапазон от 100 до 999. Следовательно, \(abc + 1\) будет варьироваться от 101 до 1000, но мы ограничиваемся трёхзначными числами.

Итак, \(abc\) может принимать значения от 100 до 999, а номер, который мы ищем, будет записан как:

\[ N = 1000 \times abc + (abc + 1) = 1001 \times abc + 1 \]

Теперь нам нужно найти такие значения \(abc\), что \(N\) делится на 501.

Поделим оба члена выражения на 501:

\[ 1001 \times abc + 1 \equiv 0 \mod 501 \]

Поскольку \(1001 \equiv 500 \mod 501\), это упрощает наше выражение до:

\[ 500 \times abc + 1 \equiv 0 \mod 501 \]

То есть:

\[ 500 \times abc \equiv -1 \mod 501 \]

Теперь найдём обратное к \(500\) по модулю \(501\) и умножим на \(-1\). Обратное к \(500\) по \(501\) — это \(500\), так как:

\[ 500 \times 500 \equiv 1 \mod 501 \]

Следовательно, мы можем умножить обе стороны на \(500\):

\[ abc \equiv -500 \mod 501 \]

Что эквивалентно:

\[ abc \equiv 1 \mod 501 \]

Теперь мы ищем все возможные трёхзначные числа \(abc\):

\[ abc = 1 + 501k, \quad k \text{ — целое число} \]

При \(k = 0\), \(abc = 1\) (не подходит, так как меньше трёхзначного). При \(k = 1\), \(abc = 502\) (подходит). При \(k = 2\), \(abc = 1003\) (не подходит, так как больше трёхзначного). Таким образом, единственное подходящее значение:

\[ abc = 502 \]

Теперь подставим это значение назад, чтобы получить:

\[ N = 1001 \times 502 + 1 = 502502 + 1 = 502503 \]

Проверим делимость на 501:

\[ 502503 \div 501 = 1001 \quad (\text{целое число}) \]

Таким образом, Артём мог записать число 502503. Это единственный подходящий вариант.