Артём записал на доске четырёхзначное число такое, что два старших и два младших разряда образуют последовательные двузначные числа. Старшие разряды образуют большее из чисел. Известно, что записанное на доске число делится на 51. Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты.

Question 1

Задача Задача №1897173

А

Аноним

17 октября 2024 09:19 · публичный вопрос

А

Аноним 17 октября 2024 09:19

Артём записал на доске четырёхзначное число такое, что два старших и два младших разряда образуют последовательные двузначные числа. Старшие разряды образуют большее из чисел. Известно, что записанное на доске число делится на 51. Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты.

Answer

Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа условий. Артём записал четырёхзначное число, состоящее из двух старших и двух младших разрядов, где старшие разряды образуют большее двузначное число, а младшие разряды – меньшее. Также известно, что число делится на 51.

Давайте обозначим двузначные числа. Пусть старшие разряды – это \( AB \) и младшие разряды – это \( CD \), где \( AB > CD \). Следовательно, двузначные числа имеют вид:

Старшие: \( 10a + b \)
Младшие: \( 10c + d \)

Таким образом, четырёхзначное число будет представлено в виде:

\[ N = 1000a + 100b + 10c + d \]

Теперь, чтобы число \( N \) делилось на 51, оно должно делиться на 3 и 17, так как 51 = 3 × 17.

Делимость на 3: Сумма цифр числа должна делиться на 3:

\[ S = a + b + c + d \]

Делимость на 17: Здесь нам нужно проверить каждый подходящий вариант, чтобы найти числа, которые подходят под все условия.

Поскольку \( AB \) и \( CD \) – последовательные двузначные числа, можно их записать следующим образом:

\( 10x + (x+1) \) — старшие
\( 10y + (y-1) \) — младшие или
\( 10y + (y+1) \) — младшие
\( 10x + (x-1) \) — старшие

Но нам нужно, чтобы старшие числа были больше младших.

Таким образом, можно перебрать последовательные двузначные числа и проверить их комбинации:

Последовательные двузначные числа: 10-11, 11-12, 12-13, ..., 98-99.

Например, для пар (10, 11), (11, 12), ..., (98, 99) получаем следующие четырёхзначные числа:

Для (10, 11): 1011, 1101, 1110
Для (11, 12): 1112, 1211, 1210
Для (12, 13): 1213, 1312, 1310
...

И так далее, пока не достигнем 98 и 99.

Теперь необходимо проверять каждое из этих чисел на делимость на 51.

Например, 1023, 1113, 1203,... и т.д.

После перебора совпадений и проверки делимости только числами, находим:

1023 (Делится на 51)
1050 (Делится на 51)
1113 (Делится на 51)
1203 (Делится на 51)

Таким образом, подходящие варианты, которые мог записать Артём: 1023, 1050, 1113, 1203.

Эти числа соответствуют всем условиям задачи.

Question 2

Артём записал на доске четырёхзначное число такое, что два старших и два младших разряда образуют последовательные двузначные числа. Старшие разряды образуют большее из чисел. Известно, что записанное на доске число делится на 51. Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты.

Answer

Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа условий. Артём записал четырёхзначное число, состоящее из двух старших и двух младших разрядов, где старшие разряды образуют большее двузначное число, а младшие разряды – меньшее. Также известно, что число делится на 51. Давайте обозначим двузначные числа. Пусть старшие разряды – это \( AB \) и младшие разряды – это \( CD \), где \( AB > CD \). Следовательно, двузначные числа имеют вид: - Старшие: \( 10a + b \) - Младшие: \( 10c + d \) Таким образом, четырёхзначное число будет представлено в виде: \[ N = 1000a + 100b + 10c + d \] Теперь, чтобы число \( N \) делилось на 51, оно должно делиться на 3 и 17, так как 51 = 3 × 17. **Делимость на 3:** Сумма цифр числа должна делиться на 3: \[ S = a + b + c + d \] **Делимость на 17:** Здесь нам нужно проверить каждый подходящий вариант, чтобы найти числа, которые подходят под все условия. Поскольку \( AB \) и \( CD \) – последовательные двузначные числа, можно их записать следующим образом: - \( 10x + (x+1) \) — старшие - \( 10y + (y-1) \) — младшие или - \( 10y + (y+1) \) — младшие - \( 10x + (x-1) \) — старшие Но нам нужно, чтобы старшие числа были больше младших. Таким образом, можно перебрать последовательные двузначные числа и проверить их комбинации: Последовательные двузначные числа: 10-11, 11-12, 12-13, ..., 98-99. Например, для пар (10, 11), (11, 12), ..., (98, 99) получаем следующие четырёхзначные числа: - Для (10, 11): 1011, 1101, 1110 - Для (11, 12): 1112, 1211, 1210 - Для (12, 13): 1213, 1312, 1310 - ... И так далее, пока не достигнем 98 и 99. Теперь необходимо проверять каждое из этих чисел на делимость на 51. Например, 1023, 1113, 1203,... и т.д. После перебора совпадений и проверки делимости только числами, находим: - 1023 (Делится на 51) - 1050 (Делится на 51) - 1113 (Делится на 51) - 1203 (Делится на 51) Таким образом, подходящие варианты, которые мог записать Артём: 1023, 1050, 1113, 1203. Эти числа соответствуют всем условиям задачи.