Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (х; у), удовлетворяющих соотношению х| — |у| = 5, а Ваня нарисовал синим фломастером окружность радиуса 5 с центром в начале координат. Сколько точек были покрашены и в синий, и в красный цвет?

Question 1

Задача Задача №1897326

А

Аноним

17 октября 2024 09:29 · публичный вопрос

А

Аноним 17 октября 2024 09:29

Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (х; у), удовлетворяющих соотношению х| — |у| = 5, а Ваня нарисовал синим фломастером окружность радиуса 5 с центром в начале координат. Сколько точек были покрашены и в синий, и в красный цвет?

Answer

Чтобы найти количество точек, которые были покрашены и в красный, и в синий цвет, нужно рассмотреть оба графика.

Красный график: уравнение \( x - |y| = 5 \) можно переписать как два отдельных уравнения:
- \( x - y = 5 \) для \( y \geq 0 \)
- \( x + y = 5 \) для \( y < 0 \)
- \( x + y = -5 \) для \( y \geq 0 \)
- \( x - y = -5 \) для \( y < 0 \)
Эти уравнения представляют собой прямые, которые пересекаются и создают фигуру, похожую на ромб.
Синий график: окружность радиуса 5 с центром в начале координат имеет уравнение:

\[ x^2 + y^2 = 25. \]

Теперь нам нужно найти точки пересечения этих кривых.

Рассмотрим каждую из четырех линий:

Для прямой \( x - y = 5 \):

Подставим \( y = x - 5 \) в уравнение окружности:

\[ x^2 + (x - 5)^2 = 25 \] \[ x^2 + (x^2 - 10x + 25) = 25 \] \[ 2x^2 - 10x = 0 \] \[ 2x(x - 5) = 0. \] Отсюда \( x = 0 \) или \( x = 5 \). Соответственно, \( y = -5 \) при \( x = 0 \) и \( y = 0 \) при \( x = 5 \).
Для прямой \( x + y = 5 \):

Подставим \( y = 5 - x \):

\[ x^2 + (5 - x)^2 = 25 \] \[ x^2 + (25 - 10x + x^2) = 25 \] \[ 2x^2 - 10x = 0 \] Это уравнение также дает \( x = 0 \) или \( x = 5 \). Соответственно, \( y = 5 \) при \( x = 0 \) и \( y = 0 \) при \( x = 5 \).
Для прямой \( x + y = -5 \):

Подставим \( y = -5 - x \):

\[ x^2 + (-5 - x)^2 = 25 \] \[ x^2 + (25 + 10x + x^2) = 25 \] \[ 2x^2 + 10x = 0 \] \[ 2x(x + 5) = 0. \] То же самое, \( x = 0 \) или \( x = -5 \). Соответственно, \( y = -5 \) при \( x = 0 \) и \( y = 0 \) при \( x = -5 \).
Для прямой \( x - y = -5 \):

Подставим \( y = x + 5 \):

\[ x^2 + (x + 5)^2 = 25 \] \[ x^2 + (x^2 + 10x + 25) = 25 \] \[ 2x^2 + 10x = 0 \] \[ 2x(x + 5) = 0. \] То же самое, \( x = 0 \) или \( x = -5 \). Соответственно, \( y = 5 \) при \( x = 0 \) и \( y = 0 \) при \( x = -5 \).

Итак, совпавшие точки:

\( (5, 0) \)
\( (0, 5) \)
\( (-5, 0) \)
\( (0, -5) \)

Таким образом, всего имеется 4 точки, которые были покрашены и в красный, и в синий цвет.

Question 2

Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (х; у), удовлетворяющих соотношению х| — |у| = 5, а Ваня нарисовал синим фломастером окружность радиуса 5 с центром в начале координат. Сколько точек были покрашены и в синий, и в красный цвет?

Answer

Чтобы найти количество точек, которые были покрашены и в красный, и в синий цвет, нужно рассмотреть оба графика. 1. **Красный график**: уравнение \( x - |y| = 5 \) можно переписать как два отдельных уравнения: - \( x - y = 5 \) для \( y \geq 0 \) - \( x + y = 5 \) для \( y < 0 \) - \( x + y = -5 \) для \( y \geq 0 \) - \( x - y = -5 \) для \( y < 0 \) Эти уравнения представляют собой прямые, которые пересекаются и создают фигуру, похожую на ромб. 2. **Синий график**: окружность радиуса 5 с центром в начале координат имеет уравнение: \[ x^2 + y^2 = 25. \] Теперь нам нужно найти точки пересечения этих кривых. Рассмотрим каждую из четырех линий: 1. Для прямой \( x - y = 5 \): Подставим \( y = x - 5 \) в уравнение окружности: \[ x^2 + (x - 5)^2 = 25 \] \[ x^2 + (x^2 - 10x + 25) = 25 \] \[ 2x^2 - 10x = 0 \] \[ 2x(x - 5) = 0. \] Отсюда \( x = 0 \) или \( x = 5 \). Соответственно, \( y = -5 \) при \( x = 0 \) и \( y = 0 \) при \( x = 5 \). 2. Для прямой \( x + y = 5 \): Подставим \( y = 5 - x \): \[ x^2 + (5 - x)^2 = 25 \] \[ x^2 + (25 - 10x + x^2) = 25 \] \[ 2x^2 - 10x = 0 \] Это уравнение также дает \( x = 0 \) или \( x = 5 \). Соответственно, \( y = 5 \) при \( x = 0 \) и \( y = 0 \) при \( x = 5 \). 3. Для прямой \( x + y = -5 \): Подставим \( y = -5 - x \): \[ x^2 + (-5 - x)^2 = 25 \] \[ x^2 + (25 + 10x + x^2) = 25 \] \[ 2x^2 + 10x = 0 \] \[ 2x(x + 5) = 0. \] То же самое, \( x = 0 \) или \( x = -5 \). Соответственно, \( y = -5 \) при \( x = 0 \) и \( y = 0 \) при \( x = -5 \). 4. Для прямой \( x - y = -5 \): Подставим \( y = x + 5 \): \[ x^2 + (x + 5)^2 = 25 \] \[ x^2 + (x^2 + 10x + 25) = 25 \] \[ 2x^2 + 10x = 0 \] \[ 2x(x + 5) = 0. \] То же самое, \( x = 0 \) или \( x = -5 \). Соответственно, \( y = 5 \) при \( x = 0 \) и \( y = 0 \) при \( x = -5 \). Итак, совпавшие точки: 1. \( (5, 0) \) 2. \( (0, 5) \) 3. \( (-5, 0) \) 4. \( (0, -5) \) Таким образом, всего имеется **4** точки, которые были покрашены и в красный, и в синий цвет.