Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, высота - 8дм, а сумма оснований 36дм. Найдите длины оснований трапеции

Для решения задачи о равнобедренной трапеции, где острый угол равен 45°, высота составляет 8 дм, а сумма оснований равна 36 дм, давайте обозначим основания трапеции как \( a \) и \( b \) (где \( a \) — большее основание, а \( b \) — меньшее).

По условию задачи, имеем:

\[ a + b = 36 \quad (1) \]

Так как трапеция равнобедренная, то боковые стороны равны. Острый угол равен 45°, что означает, что мы можем сделать ряд выводов о свойствах трапеции. Высота равнобедренной трапеции опирается на основание и образует прямоугольный треугольник с боковой стороной и половинами разности оснований.

Обозначим расстояние между основанями как \( h = 8 \) дм.

В данном случае угол в 45° означает, что длина боковой стороны \( c \) равна высоте, то есть:

\[ c = h = 8 \quad (2) \]

Нам также нужно найти выражение для боковой стороны через основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной разности оснований и боковой стороной. Обозначим разность оснований как \( x \), т.е. \( a - b = x \).

Из (1) и (2) мы можем написать:

\[ a = b + x \quad (3) \]

Подставим (3) в уравнение (1):

\[ (b + x) + b = 36 \]

Упростим:

\[ 2b + x = 36 \quad (4) \]

С другой стороны, для 45° угол треугольника, используя теорему Пифагора, у нас есть:

\[ x = h = 8 \]

Теперь заменим \( x \) на 8 в уравнении (4):

\[ 2b + 8 = 36 \]

Решим это уравнение:

\[ 2b = 36 - 8 \] \[ 2b = 28 \] \[ b = 14 \]

Теперь подставим значение \( b \) в (3) для нахождения \( a \):

\[ a = 14 + 8 = 22 \]

Таким образом, длины оснований равнобедренной трапеции составляют:

\[ a = 22 \, \text{дм} \quad \text{и} \quad b = 14 \, \text{дм}. \]

Ответ: Длины оснований равнобедренной трапеции равны 22 дм и 14 дм.