В летнем лагере 19 детей. В первый день мальчики пошли в кино а девочки в бассейн. Во второй день все девочки пошли в кино а мальчики наоборот в бассейн. Оказалось что в первый день за все виды досуга было заплачет на 1111 рублей больше чем во второй день. Известно что посещения бассейна дороже чем билет в кино. Сколько в лагере мальчиков? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле добавляя их при необходимости

Давайте разберемся с задачей пошагово.

Пусть:

• \( x \) — количество мальчиков,
• \( y \) — количество девочек.

Из условия знаем, что общее количество детей в лагере равно 19: \[ x + y = 19 \]

Стоимость мероприятий:

• Пусть стоимость билета в кино \( k \) рублей,
• Стоимость посещения бассейна \( b \) рублей.

Согласно условиям, в первый день мальчики идут в кино, а девочки — в бассейн: \[ \text{Первый день: } x \cdot k + y \cdot b \] Во второй день девочки идут в кино, а мальчики — в бассейн: \[ \text{Второй день: } y \cdot k + x \cdot b \] Разница в стоимости между первым и вторым днем составила 1111 рублей: \[ (x \cdot k + y \cdot b) - (y \cdot k + x \cdot b) = 1111 \]

Упростим это уравнение: \[ x \cdot k + y \cdot b - y \cdot k - x \cdot b = 1111 \] \[ (x - y) \cdot k + (y - x) \cdot b = 1111 \] \[ (x - y) \cdot (k - b) = 1111 \]

Мы также знаем, что посещение бассейна дороже, чем билет в кино, значит \( b > k \).

Теперь с помощью уравнений \( x + y = 19 \) и \( (x - y) \cdot (b - k) = 1111 \) можно продолжить поиск решений.

Подставим \( y = 19 - x \) в уравнение: \[ (x - (19 - x)) \cdot (b - k) = 1111 \] \[ (2x - 19) \cdot (b - k) = 1111 \]

Поскольку \( b - k > 0 \) (бассейн дороже), значит, \( 2x - 19 \) должно быть положительным: \[ 2x - 19 > 0 \implies x > 9.5 \]

Таким образом, \( x \) должно быть не менее 10. Поскольку \( x \) — это целое число, возможные целые значения для мальчиков:

• \( x = 10 \)
• \( x = 11 \)
• \( x = 12 \)
• \( x = 13 \)
• \( x = 14 \)
• \( x = 15 \)
• \( x = 16 \)
• \( x = 17 \)
• \( x = 18 \)

Давайте подставим варианты от 10 до 19, проверяя, удовлетворяют ли они условиям.

Проверка:

1. \( x = 10 \) → \( y = 9 \) \[ (10 - 9)(b - k) = 1111 \implies 1 \cdot (b - k) = 1111 \] \( b - k = 1111 \)

2. \( x = 11 \) → \( y = 8 \) \[ (11 - 8)(b - k) = 1111 \implies 3 \cdot (b - k) = 1111 \implies b - k = \frac{1111}{3} \]

3. \( x = 12 \) → \( y = 7 \) \[ (12 - 7)(b - k) = 1111 \implies 5 \cdot (b - k) = 1111 \implies b - k = \frac{1111}{5} \]

4. \( x = 13 \) → \( y = 6 \) \[ (13 - 6)(b - k) = 1111 \implies 7 \cdot (b - k) = 1111 \implies b - k = \frac{1111}{7} \]

5. \( x = 14 \) → \( y = 5 \) \[ (14 - 5)(b - k) = 1111 \implies 9 \cdot (b - k) = 1111 \implies b - k = \frac{1111}{9} \]

6. \( x = 15 \) → \( y = 4 \) \[ (15 - 4)(b - k) = 1111 \implies 11 \cdot (b - k) = 1111 \implies b - k = \frac{1111}{11} \]

7. \( x = 16 \) → \( y = 3 \) \[ (16 - 3)(b - k) = 1111 \implies 13 \cdot (b - k) = 1111 \implies b - k = \frac{1111}{13} \]

8. \( x = 17 \) → \( y = 2 \) \[ (17 - 2)(b - k) = 1111 \implies 15 \cdot (b - k) = 1111 \implies b - k = \frac{1111}{15} \]

9. \( x = 18 \) → \( y = 1 \) \[ (18 - 1)(b - k) = 1111 \implies 17 \cdot (b - k) = 1111 \implies b - k = \frac{1111}{17} \]

Теперь у нас есть подходящие варианты для мальчиков:

• 10 мальчиков
• 11 мальчиков
• 12 мальчиков
• 13 мальчиков
• 14 мальчиков
• 15 мальчиков
• 16 мальчиков
• 17 мальчиков
• 18 мальчиков

Запишите все подходящие варианты: 10
11
12
13
14
15
16
17
18