Х²+х-6≤0

Чтобы решить неравенство \( x^2 + x - 6 \leq 0 \), начнем с нахождения корней уравнения \( x^2 + x - 6 = 0 \). Это можно сделать с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -6 \).

Посчитаем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25. \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2, \] \[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3. \]

Таким образом, корни уравнения — это \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -3 \).

Теперь представим уравнение в виде множителей:

\[ (x + 3)(x - 2) \leq 0. \]

Теперь определим знаки произведения на интервалах, которые определяются корнями:

1. Для интервала \( (-\infty, -3) \): выберем точку, например, \( x = -4 \): \(( -4 + 3)(-4 - 2) = (-1)(-6) > 0\).

2. Для интервала \( (-3, 2) \): выберем точку, например, \( x = 0 \): \((0 + 3)(0 - 2) = (3)(-2) < 0\).

3. Для интервала \( (2, +\infty) \): выберем точку, например, \( x = 3 \): \((3 + 3)(3 - 2) = (6)(1) > 0\).

Теперь мы знаем, что \( (x + 3)(x - 2) \) отрицательно на интервале \( (-3, 2) \) и равно 0 при \( x = -3 \) и \( x = 2 \).

Таким образом, решение неравенства \( x^2 + x - 6 \leq 0 \) будет:

\[ [-3, 2]. \]

Это означает, что любые значения \( x \) в диапазоне от -3 до 2, включая границы, удовлетворяют данному неравенству.