Имеется 10 коробок Каждую из которых положили Синий и красный шарики Так что В каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик Коля нашёл разницу между количеством шаров разных цветов в каждой коробке если они не равны то из то из уборщика выучил меньше эти числа он написал на коробках оказалось что было написано 10 разных чисел Какое минимальное количество шаров может лежать суммарно во всех коробках

Для решения этой задачи давайте обозначим количество синих шариков в i-й коробке как \( b_i \), а количество красных шариков как \( r_i \). У нас есть 10 коробок, и по условию в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик:

\[ b_i \geq 1 \quad \text{и} \quad r_i \geq 1 \quad \text{для всех} \quad i = 1, 2, \ldots, 10. \]

Далее нам известно, что Коля заметил разницу между количеством шаров разных цветов в каждой коробке, то есть:

\[ |b_i - r_i| \quad \text{должно быть уникальными, для } i = 1, 2, \ldots, 10. \]

Предположим, что разности (то есть абсолютные значения) для каждой коробки принимают значения \( d_1, d_2, \ldots, d_{10} \). Эти значения должны быть уникальными, а поскольку Коля записал 10 разных чисел, можно предположить, что они могут принимать значения от 1 до 10 (поскольку всего 10 коробок).

Разности можно выразить через количество шариков в коробке следующим образом: \[ d_i = |b_i - r_i| = |(b_i - r_i)|. \]

Это означает, что если \( b_i > r_i \), тогда \( d_i = b_i - r_i \), и наоборот. Чтобы минимизировать общее количество шаров, нам нужно выбрать значения таким образом, чтобы они были минимальны при соблюдении условия, что разности уникальны и положительны.

Для каждого \( i \) из 1 до 10, зададим количество шариков следующим образом:

1. Для \( d_1 = 1 \):

   • \( b_1 = 2, r_1 = 1 \) (итого 3)

2. Для \( d_2 = 2 \):

   • \( b_2 = 3, r_2 = 1 \) (итого 4)

3. Для \( d_3 = 3 \):

   • \( b_3 = 4, r_3 = 1 \) (итого 5)

4. Для \( d_4 = 4 \):

   • \( b_4 = 5, r_4 = 1 \) (итого 6)

5. Для \( d_5 = 5 \):

   • \( b_5 = 6, r_5 = 1 \) (итого 7)

6. Для \( d_6 = 6 \):

   • \( b_6 = 7, r_6 = 1 \) (итого 8)

7. Для \( d_7 = 7 \):

   • \( b_7 = 8, r_7 = 1 \) (итого 9)

8. Для \( d_8 = 8 \):

   • \( b_8 = 9, r_8 = 1 \) (итого 10)

9. Для \( d_9 = 9 \):

   • \( b_9 = 10, r_9 = 1 \) (итого 11)

10. Для \( d_{10} = 10 \):

• \( b_{10} = 11, r_{10} = 1 \) (итого 12)

Теперь суммируем общее количество шаров:

\[ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 75. \]

Таким образом, минимальное общее количество шаров во всех коробках, соблюдая все условия, составит 75.