Дан ∆ABC известно, что уголA=45°,уголB=60°,а также сторона BC=3√2. Найти AC-?

Для решения задачи давайте воспользуемся теоремой синусов. В треугольнике \( ABC \) у нас известны углы \( A \) и \( B \), а также сторона \( BC \).

1. Сначала найдем угол \( C \) с помощью свойства суммы углов в треугольнике: \[ C = 180° - A - B = 180° - 45° - 60° = 75°. \]

2. Теперь применяем теорему синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \] где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \). Известно, что \( BC = a = 3\sqrt{2} \).

3. Подставим известные значения:

   • \( \sin A = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \),
   • \( \sin B = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \),
   • \( \sin C = \sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).

4. Теперь найдем \( AC \) через теорему синусов: \[ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}. \]

   Упростим это уравнение: \[ 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = AC \cdot \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}. \] \[ 6 = AC \cdot \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}. \] \[ AC = 6 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}. \]

Таким образом, длина стороны \( AC \) равна \( \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \).