решить систему уравнений 4x+y-2z=10 -x+3y-z=-1 3x-y+5z=1
Для решения данной системы уравнений можно использовать метод подстановки, метод исключения или метод матриц. Рассмотрим метод подстановки.
Имеем систему:
- \( 4x + y - 2z = 10 \) (уравнение 1)
- \( -x + 3y - z = -1 \) (уравнение 2)
- \( 3x - y + 5z = 1 \) (уравнение 3)
Шаг 1: Выразим одну переменную через другие.
Начнем с уравнения (1) и выразим \( y \):
\[ y = 10 - 4x + 2z \] (уравнение 4)
Шаг 2: Подставим \( y \) из уравнения (4) в уравнения (2) и (3).
Подставим в (2):
\[ -x + 3(10 - 4x + 2z) - z = -1 \]
Это даёт:
\[ -x + 30 - 12x + 6z - z = -1 \]
Объединяем все части:
\[ -13x + 5z = -31 \]
\[ 13x - 5z = 31 \] (уравнение 5)
Теперь подставим \( y \) в уравнение (3):
\[ 3x - (10 - 4x + 2z) + 5z = 1 \]
Это даёт:
\[ 3x - 10 + 4x - 2z + 5z = 1 \]
Объединяем части:
\[ 7x + 3z - 10 = 1 \]
\[ 7x + 3z = 11 \] (уравнение 6)
Шаг 3: Решим получившуюся систему из (5) и (6).
Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:
- \( 13x - 5z = 31 \) (уравнение 5)
- \( 7x + 3z = 11 \) (уравнение 6)
Выразим \( z \) из уравнения (6):
\[ 3z = 11 - 7x \]
\[ z = \frac{11 - 7x}{3} \] (уравнение 7)
Теперь подставим \( z \) из (7) в уравнение (5):
\[ 13x - 5(\frac{11 - 7x}{3}) = 31 \]
Умножим всё на 3, чтобы избавиться от дробей:
\[ 39x - 5(11 - 7x) = 93 \]
Раскроем скобки:
\[ 39x - 55 + 35x = 93 \]
Объединим похожие слагаемые:
\[ 74x - 55 = 93 \]
Добавим 55 к обеим сторонам:
\[ 74x = 148 \]
Разделим на 74:
\[ x = 2 \]
Шаг 4: Найдем \( z \) и \( y \).
Теперь подставим значение \( x \) в (7) для нахождения \( z \):
\[ z = \frac{11 - 7(2)}{3} = \frac{11 - 14}{3} = -1 \]
Теперь найдем \( y \) по уравнению (4):
\[ y = 10 - 4(2) + 2(-1) = 10 - 8 - 2 = 0 \]
Ответ:
Мы нашли значения переменных:
\[ x = 2, \quad y = 0, \quad z = -1 \]
Таким образом, решение системы уравнений: \( (x, y, z) = (2, 0, -1) \).
