Имеется 11 коробок,в каждую из них положили синие и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы 1 синий или 1 красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шаров разных цветов каждой коробке (если они не равны он из большего вычел меньшее). Эти числа он написал на коробках. оказалось что было написано 11 разных чисел. какое минимально количество шариков может лежать сумарно во всех коробках?

Для решения этой задачи рассмотрим, что в каждой из 11 коробок у нас есть синие и красные шарики, и Коля записывал разницу между количеством шариков разных цветов, которая была уникальной для каждой коробки.

Пусть в i-й коробке будет \( b_i \) синих шариков и \( r_i \) красных шариков. Тогда разница между количеством шариков разного цвета в коробке будет:

\[ d_i = |b_i - r_i| \]

Коля заметил, что все 11 разностей \( d_1, d_2, \ldots, d_{11} \) были уникальными. Это значит, что для каждой коробки разница может принимать значения от 1 до 11, поскольку других значений, соответствующих 11 уникальным записям, не существует.

Теперь, чтобы минимизировать общее количество шариков во всех коробках, мы выведем минимум для каждого \( d_i \):

• Если \( d_i = 1 \): можно взять 1 синий и 2 красных шарика (\( b_i = 1, r_i = 2 \)) или 2 синих и 1 красный (\( b_i = 2, r_i = 1 \)). В любом из случаев имеем 3 шарика.
• Если \( d_i = 2 \): можно взять 2 синих и 4 красных (\( b_i = 2, r_i = 4 \)) или 4 синих и 2 красных (\( b_i = 4, r_i = 2 \)). Таким образом, минимальное количество шариков будет 6.
• Если \( d_i = 3 \): можно взять 3 синих и 6 красных (\( b_i = 3, r_i = 6 \)) или 6 синих и 3 красных. Минимум - 9 шариков.
• И так далее, вплоть до:
• \( d_i = 11 \): можно взять 11 синих и 22 красных, то есть 33 шарика.

Теперь суммируем минимальные количества шариков для каждой \( d_i \) от 1 до 11:

\[ 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 + 33 \]

Это арифметическая прогрессия, где первый член \( a_1 = 3 \), последний \( a_{11} = 33 \), а количество членов \( n = 11 \).

Сумма арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]

Подставляя данные, получаем:

\[ S_{11} = \frac{11}{2} \times (3 + 33) = \frac{11}{2} \times 36 = 11 \times 18 = 198 \]

Минимальное количество шариков во всех коробках составит 198.