Артём записал на доске четырёхзначное число — такое, что два старших и два младших разряда образуют последовательные двузначные числа (старшие разряды образуют большее из чисел). Известно, что записанное на доске число делится на 51. Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Давайте обозначим четырёхзначное число как \( \overline{abcd} \), где \( ab \) - это два старших разряда, а \( cd \) - два младших разряда. Условие говорит о том, что \( ab \) и \( cd \) образуют последовательные двузначные числа, причем \( ab > cd \).
Допустим, что \( ab = x \) и \( cd = x - 1 \). Таким образом, число можно записать как \( 1000a + 100b + 10c + d = 100 \cdot x + (x - 1) \), что равно \( 101x - 1 \).
Условие деления на 51 означает:
\[ 101x - 1 \equiv 0 \pmod{51} \] или \[ 101x \equiv 1 \pmod{51}. \]
Чтобы разрешить это уравнение, сначала упростим \( 101 \mod 51 \):
\[ 101 - 51 = 50 \quad \text{(значит, } 101 \equiv 50 \pmod{51}). \]
Тогда у нас есть:
\[ 50x \equiv 1 \pmod{51}. \]
Теперь найдем обратный элемент 50 по модулю 51. Это можно сделать с помощью алгоритма Евклида:
- \( 51 = 1 \cdot 50 + 1 \)
- \( 50 = 50 \cdot 1 + 0 \)
Таким образом, мы видим, что
\[ 1 = 51 - 1 \cdot 50. \]
То есть, обратный элемент \( 50 \) по модулю \( 51 \) — это \( -1 \equiv 50 \pmod{51} \). Теперь, подставим в уравнение:
\[ x \equiv 50 \pmod{51}. \]
Теперь, поскольку \( x \) является двухзначным числом, оно должно лежать в пределах от \( 10 \) до \( 99 \). Следовательно, будем искать подходящие значения для \( x \):
- \( x = 50 \)
- \( x = 50 + 51 = 101 \) (не подходит, так как x должно быть двухзначным)
Таким образом, \( x = 50 \) – единственное решение. Соответственно:
\[ cd = x - 1 = 49. \]
Таким образом, получаем, что четырёхзначное число:
\[ \overline{abcd} = 5049. \]
Поскольку это единственное четвёртое число, которое соответствует всем условиям задачи, единственный вариант, который мог записать Артём:
5049
