Реши пожалуйста задачу на этом фото

Привет! Давай разберёмся вместе.

Условие нам говорит, что множество точек \((x; y)\) удовлетворяет уравнению \(|x^2 - y^2| = 5\). Это уравнение даёт две гиперболы: \(x^2 - y^2 = 5\) и \(x^2 - y^2 = -5\).

Ваня нарисовал окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Уравнение такой окружности: \(x^2 + y^2 = 25\).

Нам нужно найти количество точек, которые принадлежат и окружности, и одной из гипербол. Чтобы это сделать, решим систему уравнений поочерёдно:

1. \(x^2 - y^2 = 5\) и \(x^2 + y^2 = 25\)

Решив эту систему, ты найдёшь точки пересечения:

\[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} \]

Сложим и вычтем уравнения:

\(2x^2 = 30 \Rightarrow x^2 = 15 \Rightarrow x = \pm \sqrt{15}\)

\(2y^2 = 20 \Rightarrow y^2 = 10 \Rightarrow y = \pm \sqrt{10}\)

Таким образом, получаем 4 точки: \((\sqrt{15}, \sqrt{10})\), \((\sqrt{15}, -\sqrt{10})\), \((- \sqrt{15}, \sqrt{10})\), \((- \sqrt{15}, - \sqrt{10})\).

2. \(x^2 - y^2 = -5\) и \(x^2 + y^2 = 25\)

Аналогично решив систему:

\[ \begin{cases} x^2 - y^2 = -5 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} \]

Сложим и вычтем уравнения:

\(2y^2 = 30 \Rightarrow y^2 = 15 \Rightarrow y = \pm \sqrt{15}\)

\(2x^2 = 20 \Rightarrow x^2 = 10 \Rightarrow x = \pm \sqrt{10}\)

Получаем ещё 4 точки: \((\sqrt{10}, \sqrt{15})\), \((\sqrt{10}, -\sqrt{15})\), \((- \sqrt{10}, \sqrt{15})\), \((- \sqrt{10}, -\sqrt{15})\).

Всего точек пересечения: 4 (из первой системы) + 4 (из второй системы) = 8 точек.

Ответ: 8 точек.