вычислить производные f'(x) при данном значении аргумента: f'(1), если f(x)=(x^3-4x^2+3)^7
Чтобы вычислить производную функции \( f'(x) \) при \( f(x) = (x^3 - 4x^2 + 3)^7 \), воспользуемся правилом производной сложной функции, известным как правило цепочки.
- Обозначим внутреннюю функцию \( g(x) = x^3 - 4x^2 + 3 \).
- Тогда функция \( f(x) \) может быть записана как \( f(x) = (g(x))^7 \).
Согласно правилу цепочки, производная будет вычисляться как: \[ f'(x) = 7(g(x))^6 \cdot g'(x) \]
Теперь мы должны найти производную \( g'(x) \): \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(3) = 3x^2 - 8x \]
Теперь подставим \( g(x) \) и \( g'(x) \) в формулу для \( f'(x) \): \[ f'(x) = 7 \cdot (g(x))^6 \cdot g'(x) = 7 \cdot (x^3 - 4x^2 + 3)^6 \cdot (3x^2 - 8x) \]
Теперь нам нужно найти \( f'(1) \). Для этого подставим \( x = 1 \) в \( g(x) \) и \( g'(x) \): \[ g(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \] \[ g'(1) = 3 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 = 3 - 8 = -5 \]
Подставим эти значения в формулу для производной: \[ f'(1) = 7 \cdot (g(1))^6 \cdot g'(1) = 7 \cdot 0^6 \cdot (-5) = 7 \cdot 0 \cdot (-5) = 0 \]
Таким образом, значение производной \( f'(1) \) равно \( 0 \).
