В выборах главы школьного совета приняло участие 550 учеников старшей и средней школы. Было выдвинуто всего 2 кандидата Антон и Борис, причём для победы было достаточно набрать…

Решим задачу по порядку.

Обозначим количество подсчитанных бюллетеней как \( x \).

Сначала определим количество недействительных бюллетеней:

• 12% от \( x \) — это недействительные бюллетени, что составляет \( 0.12x \).
• Следовательно, количество действительных бюллетеней будет равно \( x - 0.12x = 0.88x \).

Теперь, согласно условию, 70% действительных голосов было за Антона:

• Количество голосов за Антона составит \( 0.70 \times 0.88x = 0.616x \).
• Количество голосов за Бориса составит \( 0.30 \times 0.88x = 0.264x \).

Для победы Антону необходимо было набрать более половины голосов, что в данном случае составляет: \[ \frac{550}{2} = 275 \] Таким образом, для того чтобы Антон уже на момент подсчета понял, что у него больше половины голосов, должно выполняться неравенство: \[ 0.616x > 275 \]

Теперь решим это неравенство: \[ 0.616x > 275 \] \[ x > \frac{275}{0.616} \approx 446.45 \]

Поскольку количество подсчитанных бюллетеней должно быть целым числом, минимально возможное значение для \( x \) равно 447.

Теперь проверим количество недействительных и действительных бюллетеней при \( x = 447 \):

• Количество недействительных бюллетеней: \[ 0.12 \times 447 = 53.64 \] Это значение тоже округлим до ближайшего целого числа, получаем 54 (недействительных бюллетеней).

Теперь подсчитаем действительные: \[ 447 - 54 = 393 \, \text{(действительных)} \]

Теперь найдем голоса за каждого кандидата:

• За Антона: \[ 0.70 \times 393 \approx 275.1 \] Округляя, получаем 276 голосов за Антона.
• За Бориса: \[ 0.30 \times 393 \approx 118.1 \] Округляя, получаем 117 голосов за Бориса.

Теперь проверим, что количество голосов за Антона (276) больше половины от 550: \[ 276 > 275 \]

Таким образом, наименьшее количество бюллетеней, которое могло быть подсчитано к этому моменту, составляет 447.